Monedas de un centavo en una alfombra problema

Question

Recientemente he leído el siguiente "problema abierto" titulado "los Peniques en una alfombra" en "Una Introducción A la Probabilidad y Procesos Aleatorios" por Baclawski y Rota (página viii del libro, en la página 10 de la siguiente pdf), que se encuentran aquí: http://www.ellerman.org/Davids-Stuff/Maths/Rota-Baclawski-Prob-Theory-79.pdf

"Tenemos una alfombra rectangular y una indefinida de suministro de perfecto centavos. ¿Cuál es la probabilidad de que si dejamos caer las monedas en la alfombra al azar no hay dos de ellos se superponen? Este problema es uno de los problemas más importantes en la mecánica estadística. Si pudiéramos responder a lo que nos gustaría saber, por ejemplo, por qué el agua hierve a 100 ºc, sobre la base de los puramente atómica cálculos. Nada se sabe acerca de este problema."

Me preguntaba si este problema va por más de un nombre popular y si es o no alguna forma de progreso se ha hecho en él. En particular, las referencias sería muy apreciada!

Answer 1

Este es el de dos dimensiones del modelo de esferas duras, a veces llamados discos duros en una caja.

Consulte la Sección 4 de Persi Diaconis la encuesta reciente artículo, La Cadena de Markov de Monte Carlo de la Revolución. El punto aquí es que a pesar de que es muy difícil tomar una muestra aleatoria de configuración de discos que no se solapan, colocándolos en la alfombra (porque la probabilidad de éxito es muy pequeña como para que cualquier número razonable de discos), pero sin embargo es posible tomar una muestra aleatoria de configuración a través de Monte Carlo.

Answer 2

Una variación que fue resuelto por Baxter es el duro hexágono modelo, una versión discreta donde las monedas son hexágonos y están obligados a tener sus centros en los vértices de un triángulo de celosía. Este ejemplo es bastante famoso debido a que la solución consiste en la Rogers-Ramanujan identidades. Ver Baxter libro para obtener más detalles. Hasta donde yo sé, el análogo de "duro modelo cuadrado" no ha sido resuelto.

Answer 3

Rota (en la página $viii$ de su introducción, en la página 10 del archivo pdf) está hablando acerca de la dificultad de contar con una solución analítica para la mecánica estadística en las 2 dimensiones y 3 dimensiones de los casos, mientras que es posible atacar el problema de alguna manera en el caso unidimensional.

También menciona cómo los métodos estocásticos y simulación puede ser utilizada para venir para arriba con una rápida y sucia aproximación de las respuestas mediante el modelado de la física sysyem y el uso de métodos de Monte Carlo: la iteración el sistema aleatorio pasos.

Temas de investigación sería métodos de Monte Carlo, modelos estocásticos, el paseo aleatorio, etc. Se puede decir un poco más acerca de qué es exactamente lo que usted desea estudiar o examinar?

Answer 4

Supongo que uno podría frase de la pregunta de esta manera: dado $r$, $s$, $n$, y $\epsilon$, ¿cuál es la probabilidad de que de $n$ puntos, seleccionados de manera uniforme y de forma independiente al azar a partir de un rectángulo de dimensiones $r$ por $s$, no hay dos será dentro de $\epsilon$ de cada uno de los otros.

En la teoría de la distribución uniforme de módulo uno, hay un concepto de discrepancia que puede ser ejercida sobre este problema. Espero que te da un par de palabras clave para buscar.