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¿Qué es un uso práctico de esta métrica?

Mostrando $\rho (x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ es una métrica

Que el post de una forma más genérica de una métrica de vez en cuando veo $d(x,y) = \frac{|x-y|}{1+|x-y|}$. Cuando el uso de esta métrica ser útil exactamente? De vez en cuando viene cuando estudio el análisis, pero no sé por qué, no sé por qué la gente lo usa o qué beneficio puede aportar sobre el nivel métrico. Yo simplemente he visto sólo como un ejemplo de una métrica en los libros o en los sitios, pero si es así muchas fuentes mencionan, entonces es muy poco probable que es inútil.

25voto

Theo Bendit Puntos 2468

Es una métrica que está acotada arriba por $1$, mientras que el mantenimiento de la misma topología. Esto significa que delimitadas las métricas son tan poderosos como indicadores generales (que podría decirse que es interesante en sí mismo).

Más concretamente, hay una que comúnmente se utiliza para la construcción de inflexión de una contables producto de la métrica de los espacios en un espacio métrico sí mismo. Específicamente, si tenemos espacios de $(X_n, d_n)$ donde $n \in \Bbb{N}$ e $d_n$ está delimitado de manera uniforme (por ejemplo, $d_n \le 1$ para todos los $n$), a continuación, $\prod_n X_n$ es un espacio métrico con la métrica $$d(x, y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{d_n(x_n, y_n)}{2^n}.$$ Acotamiento es importante para garantizar la convergencia. Esta función es una métrica, y demuestra que una contables producto de metrisable espacios son metrisable. Esto, a su vez, es utilizado para probar un montón de interesantes metrisability teoremas. Viniendo de un análisis funcional de fondo, una de las consecuencias yo soy parcial a es el metrisability de la topología débil de un separables normativa espacio lineal cuando se limita a la unidad de la bola. A partir de esto, podemos obtener la mano Eberlein-Smulian teorema.

Por supuesto, este es sólo uno de los campos de uso de la métrica!

5voto

Tim Almond Puntos 1887

Una de las ventajas de $\rho$ es que $\rho\le1$ , independientemente del tamaño de $d$. Supongamos que usted es ajustar un modelo a los datos, la penalización de la modelo para cada punto de datos de la distancia de las predicciones del modelo, con el objetivo de estimación de parámetros. Si $d$ es ilimitado, una suma de $d$ penalizaciones es muy sensible a los valores atípicos, especialmente si hay un gran $d$ valores no son todos los que improbable (que no siempre son de Gauss). Por el contrario, $\rho$ da en más de una sanción de $1$ a cualquier punto de datos, de manera que la sensibilidad a los valores atípicos se reduce.

4voto

Que la función es una métrica debido a $f(x)=\frac{x}{1+x}$ es monótona creciente de la función en $(0,\infty)$ así que si consideran que el punto de $x,y,z$ si su espacio, a continuación,

$d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Así

$f(d(x,y))\leq f(d(x,z)+d(z,y))= \frac{d(x,z)+d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}= $

$\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+ \frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)}\leq $

$\leq \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}+ \frac{d(z,y)}{1+d(z,y)}$

Por lo $d'(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ es una métrica

Por qué es útil el uso de esta métrica? Debido a que esta métrica es siempre limitado, de hecho

$d'(x,y)< 1$

Esto es útil para probar, por ejemplo, que una contables producto de la métrica del espacio es también un espacio métrico.

De hecho, se puede observar que $d$ e $d'$ inducir la misma Topología en el espacio, así que si te consideras una contables de la familia de espacios métricos $\{(X_n,d_n)\}_n$ luego

$D(x,y):=\sum_{n=1}^\infty \frac{d_n'(x_n,y_n)}{2^n}$ es una métrica de $\prod_{n}X_n$ que induce el producto de la Topología en este espacio.

2voto

mattecapu Puntos 144

Sé que esta cosa: si $(X, d)$ apoya una medida $\mu$, entonces la convergencia en la medida, por una secuencia de funciones, es la misma que la convergencia con respecto a la (integral) de los métrica que mencionas. Que es: en $\mathrm{Meas}(X)$, definir la métrica $$ d_\mu(f, g) = \int \frac{d(f(x), g(x))} {1+d(f(x), g(x))} d\mu(x) $$ A continuación, una secuencia de funciones medibles converge en la medida iff converge con respecto a la métrica de $d_\mu$.

Esto se afirma en el Tao del libro sobre teoría de la medida, si recuerdo correctamente.

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