Me registré en Wikipedia, sé que es un poderoso de la cuantización en la física, pero me pregunto ¿cuál es su relación en matemáticas (como la simetría de espejo como en la wikipedia). Una relativa cosa es quantum ecuación maestra, ¿cuál es su uso en matemáticas? Cualquier referencia o de fondo? Gracias!
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El BV formalismo proporciona una (co)homológica reformulación de varias preguntas importantes de la teoría cuántica de campos. El tipo de problemas que son por lo general dirigidas por el BV formalismo son:
- la determinación de la invariante gauge operadores,
- la determinación de conserva corrientes,
- el problema de la constante de deformación de una teoría,
- la determinación de los posibles cuántica anomalías (la violación de la invariancia gauge debido a los efectos cuánticos).
El BV formalismo es especialmente atractivo, ya que no es necesario uno para hacer una elección de un medidor de fijación y mantiene un manifiesto de covarianza espacio-tiempo. Se puede también se ocupa de situación en la que la tradicional BRST formalismo no puede manejar. Este es el caso, por ejemplo de calibre teorías de admitir a un abierto de calibre álgebra ( un medidor de álgebra que se cierra solo el modulo de las ecuaciones de movimiento). El ejemplo típico son las teorías de supergravedad. El BV formalismo que permite también un elegante y potente matemática reformulación de ciertas cuestiones de las teorías cuánticas del campo en el lenguaje de homomological álgebra.
Matemáticamente, la BV formalismo es simplemente una aplicación inteligente de homológica teoría de la perturbación. Con el fin de entender la relación, en primer lugar la revisión de la geometría de un modelo físico descrito por una de Lagrange $\mathcal{L}$, en función de los campos de $\phi^I$ y un número finito de sus derivados y la admisión de un medidor de simetría $G$. El punto de partida es el espacio $\mathcal{M}$ de todas las configuraciones posibles de los campos y sus derivados. Esto se puede formalizar el uso de la lengua de jet-espacios. De Euler-Lagrange las ecuaciones dar las ecuaciones de movimiento de la teoría y, junto con sus derivados, definen un sub-espacio de $\Sigma$ de % de $\mathcal{M}$ llamado el espacio estacionario. Las funciones de shell son las funciones relevantes para la dinámica de la teoría, que están definidas en el espacio estacionario $\Sigma$, que puede ser descrito alegebraically como $\mathbb{C}^\infty(\Sigma)=\mathbb{C}^\infty(\mathcal{M})/ \mathcal{N}$ donde $\mathcal{N}$ es el ideal de las funciones que se desvanecen en $\Sigma$. Debido a la invariancia gauge, el de Euler-Lagrange las ecuaciones no son independientes sino que satisfacer a algunos no trivial de relaciones llamados Noether identidades. Uno tiene que identificar las diferentes configuraciones relacionadas por un medidor de transformación. De hecho, un medidor de simetría no es una verdadera simetría de la teoría, sino de una redundancia de la descripción.
Los dos pasos que acabamos de describir (restricción a la superficie estacionaria y tomando el cociente por el calibre de las transformaciones) son, respectivamente, se dio cuenta en la BV formalismo por la homología de la Koszul-Tate diferencial $\delta$ y el cohomology de la longitudinal del operador $\gamma$. El Koszul-Tate operador define una resolución de las ecuaciones de movimiento en la homología. Esto se hace mediante la introducción de una antifield $\phi^*_I$ para cada campo $\phi^I$ de la de Lagrange. El antifields se introdujo para garantizar que las ecuaciones de movimiento son triviales en la homología de la Koszul-Tate operador. La invariancia gauge de la teoría está tomando el cuidado de la cohomology de la longitudinal de los diferenciales $\gamma$. En el caso de Yang-Mills teorías, la cohomology de $\gamma$ es equivalente a la Mentira de álgebra cohomology.
El pleno de la BV operador está dado por
$$s=\delta + \gamma+\cdots,$$
donde los puntos son para los posibles términos adicionales requeridos para asegurar que el BV operador $s$ es nilpotent ( $s^2=0$). La construcción de la $s$ de $\delta$ e $\gamma$ sigue un patrón recursivo tomado de homológica teoría de la perturbación. Se puede trazar la necesidad de que el antifields y la Koszul-Tate diferencial a este patrón recursivo.
Por simple teorías como la de Yang-Mills, sólo tenemos $s=\delta+\gamma$, ya que el medidor de álgebra se cierra como un grupo sin el uso de las ecuaciones de movimiento. En más de complicar la situación, cuando el álgebra está abierto hay condiciones adicionales en la definición de $s$.
Uno puede genera $s$ el uso de la BV soporte de $(\cdot ,\cdot)$ (en virtud de la cual un campo y sus asociados antifields son doble) y una fuente de $S$ de manera tal que la BV operador puede ser expresado como
$$
s F= (S,F).
$$
El classifical maestro ecuación es
$$(S,S)=0,$$
y es sólo equivalente a $s^2=0$.
En el nivel cuántico, la acción $S$ es reemplazado por un quantum de acción $W=S+\sum_ i \hbar^i M_i$ donde los términos $M_i$ son contribución debida a la ruta integral de medida. El invariante gauge de quantum expectativa de los valores de los operadores es equivalente a la cuántica maestro ecuación: $$ \frac{1}{2}(W,W)=i\manejadores \Delta W, $$ donde $\Delta$ es un operador similar a la de Laplace, pero se define en el espacio de los campos y sus antifields. Este operador, naturalmente, aparece cuando uno considera la invariancia de la medida de la ruta integral bajo un infinitesimal BRST transformación. Al $\Delta S=0$, podemos tomar $W=S$.
Ahora vamos a revisar la BV (co)homológica interpretación de algunas preguntas importantes en la teoría cuántica de campos:
Las características observables de la teoría invariante gauge operadores, son descritas por el cohomology grupo $H(s)$ en espíritu número cero.
No triviales conservado corrientes de la teoría son equivalentes a los llamados característica cohomology $H^{n-1}_0(\delta |d)$ que es la cohomology de la Koszul-Tate operador $\delta$ (en antifield número cero) modulo total de productos derivados de las formas de grado $n-1$ donde $n$ es la dimensión del espacio-tiempo.
La clase equivalente de global simetrías es equivalente a $H^n_1(\delta| d)$.
El calibre de las anomalías son controlados por el grupo $H^{1,n}(s|d)$ (que es $H(s)$ en antifield número 1 y en el espacio de $n$-formulario modulo total de derivados). Las condiciones que definen el cohomology $H^{1,n}(s|d)$ son la generalización de la famosa Wess-Zumino consistencia condición.
El grupo $H^{0,n}(s|d)$ controles de la renormalization de la teoría y de todos los posibles contador de términos.
Los grupos de $H^{0,n}(\gamma,d)$ e $H^{1,n}(\gamma, d)$ control de la constante deformaciones de la teoría.
Referencias:
Para una breve reseña, te recomiendo el preprint por Fuster, Henneaux y Maas: hep-th/0506098.
La referencia clásica es el libro de Marc Henneaux y Claudio Teitelboim (Cuantización de la Galga Los sistemas).
Para aplicaciones hay también un estándar de revisión por Barnich, Brandt y Henneaux: `Local BRST cohomology en teorías gauge," Phys. Rept.338, 439 (2000) [arXiv:hep-th/0002245].
