¿Implica lo proyectivo lo plano?

Question

Dejemos que $\mathcal C$ sea una categoría abeliana dotada de una estructura monoidal simétrica cerrada. Esto implica en particular que la estructura monoidal $\otimes$ es justo exacto en cada variable. Lo que más me importa es la situación en la que $\mathcal C$ es finito $\mathbb C$ -lineal en el sentido de arXiv:1406.4204 (en cuyo caso la estructura monoidal es cerrada si es exacta en cada variable). Nótese que, a diferencia de ese trabajo, a mí me interesan específicamente las estructuras monoidales que no son rígidas. Un ejemplo de la categoría que tengo en mente es la categoría $\mathrm{Mod}^f_A$ de módulos de dimensión finita para cualquier álgebra conmutativa de dimensión finita $A$ (con $\otimes = \otimes_A$ ).

Recordemos que un objeto $P \in \mathcal C$ es proyectiva si $\hom(P,-) : \mathcal C \to \mathrm{AbGp}$ es exacta por la derecha. (Ya es exacta a la izquierda.) Nótese que esto no tiene nada que ver con la estructura monoidal.

Un objeto $F \in \mathcal C$ es plano si $F \otimes : \mathcal C \to \mathcal C$ es exacta por la izquierda. (Ya es exacta a la derecha.) Nótese que esto tiene todo que ver con la estructura monoidal.

¿Los objetos proyectivos son necesariamente planos?

Por supuesto, en $\mathrm{Mod}_A^f$ lo son. Los otros ejemplos que suelo utilizar de categorías monoidales no rígidas son las teorías de representación de las bialgebras no Hopf, pero allí todo objeto es plano.

Answer 1

Creo que lo siguiente es un contraejemplo. Sea $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sean categorías abelianas simétricas cerradas y monoidales tales que el objeto unitario $1\in\mathcal{B}$ es proyectiva y dejemos que $F:\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ sea un functor monoidal simétrico fuerte no exacto que tiene un adjunto derecho $G:\mathcal{B}\to\mathcal{A}$ . Por ejemplo, si $A$ es un anillo conmutativo y $B$ es un conmutador $A$ -que no es plana sobre $A$ , podrías tener $\mathcal{A}=\mathrm{Mod}_A$ et $\mathcal{B}=\mathrm{Mod}_B$ et $F(M)=M\otimes_A B$ . Sea $\mathcal{C}=\mathcal{A}\times\mathcal{B}$ y dotarlo de la estructura simétrica monoidal dada por $$(M,V)\otimes (N,W)=(M\otimes N,F(M)\otimes W\oplus V\otimes F(N)\oplus V\otimes W).$$

La unidad es $(1,0)$ y la asociatividad se deduce de $F$ siendo monoidal simétrica fuerte. Además, esta estructura monoidal es cerrada, con hom interna dada por $$\operatorname{hom}((M,V),(N,W))=(\operatorname{hom}(M,N)\oplus G(\operatorname{hom}(V,W)),\operatorname{hom}(F(M),W)\oplus\operatorname{hom}(V,W)).$$

En esta categoría, el objeto $(0,1)$ es proyectiva por hipótesis, pero no es plana porque $(M,0)\otimes (0,1)=(0,F(M))$ et $F$ no es exacta.

En el ejemplo mencionado anteriormente en el que $\mathcal{A}=\mathrm{Mod}_A$ et $\mathcal{B}=\mathrm{Mod}_B$ et $B$ resulta ser un cociente de $A$ Esta construcción tiene la siguiente explicación intuitiva. El producto monoidal se define como si $(M,V)$ eran secretamente los $A$ -Módulo $M\oplus V$ y el producto tensorial es simplemente el producto tensorial ordinario de $A$ -módulos. En particular, dado que $B=0\oplus B$ no es plana sobre $A$ el objeto $(0,B)$ no es plana. Sin embargo, la propia categoría no cree que $(M,V)$ es sólo un $A$ -Módulo $M\oplus V$ y, en particular, el mapa de cociente $A\to B$ no existe como mapa $(A,0)\to (0,B)$ que causaría $(0,B)$ para no ser proyectivo.

Para un finito $\mathbb{C}$ -versión lineal de este ejemplo, puede tomar $A$ et $B$ para ser de dimensión finita $\mathbb{C}$ -y se restringe a módulos generados finitamente en todas partes.

Answer 2

El papel:

When projective does not imply flat, and other homological anomalies, Theory and Applications of Categories, Vol 5, pp. 202-250, 1999, disponible aquí

de Gaunce Lewis muestra que este comportamiento es bastante común en las categorías de funtores de Mackey para grupos de Lie compactos. Estas categorías surgen de forma muy natural en la categoría de homotopía estable equivariante. He aquí una cita del resumen: "Estos ejemplos no fueron fabricados para ilustrar la posibilidad abstracta de un comportamiento erróneo. Más bien, están extraídos de la literatura".