Es el siguiente problema todavía abierto? Deje $S$ ser un conjunto no vacío de números primos tales que siempre $p,q\in S$, todos los factores primos de $pq+1$ son también elementos de $S$. Es $S$ infinito?
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twk
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La respuesta es probablemente "siempre es el conjunto de todos los números primos o vacío". En efecto, supongamos que $S$ no está vacío. Primero de todo, $S$ debe contener $2$ (si contiene $p>2$,, a continuación, $p^2+1$ es incluso). Luego también contiene $2\cdot 2+1=5, 2\cdot 5+1=11, 7\mid 5\cdot 11+1, 3\mid 2\cdot 7+1,$ etc. Parece que, a continuación, $S$ contiene todos los números primos. No puedo demostrarlo, pero la prueba no debe ser tan difícil.
Actualización Aquí es más que conjeturas. Deje $S$ ser el conjunto de todos los números primos de $2$ a $p>17$. Deje $q$ ser el próximo primer después de $p$. A continuación, $q$ divide $rs+1$ para algunos $r,s\in S$. Por supuesto, esto implica la afirmación anterior. Me pregunto si mi conjetura es que ya se sabe. Me registré para todos los $p<100,000$. Yo deje de comprobar y va a esperar la opinión de un número real teórico.
dan8394
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Este fue dada como un problema en uno de los MAA revistas en la década de 1980 como un doble-protagonizó problema (no hay solución). La conocí un reto, un problema en una tarea en Juan de Polonia (Universidad de Carleton) moderno curso de álgebra. He trabajado en él durante un par de meses, observando como Marca de Sapir ¿que tal un set contiene 2, 5, 11, etc.
Roy Tang
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No pretenden ser un número real teórico o cualquier cosa de ese tipo...Solo me pregunto, es un enfoque posible para la Marca de Sapir fuerte conjetura (suponiendo que la respuesta no es ya conocido) para calcular $$ \sum_{\substack{r,s < q\\ q| rs+1}}\Lambda(r)\Lambda(s) $$
por
$$ \int_0^1 \left(\sum_{r,s < q}\Lambda(r)\Lambda(s)e((rs+1)\alpha)\right)\left(\sum_{m <q}e(-qm \alpha)\right)d\alpha $$
donde $e(x) = e^{2 \pi i x}$ y, a continuación, aplicar el método de círculo? Si no puede ser resuelto de esta manera, tal vez se puede hacer equivalente a una conjetura sobre algunos de los términos de error.
joschi
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Queridos Currie
El siguiente problema todavía está abierta:
Tenemos infinitos números primos de la forma $2p+1$ donde $p$ es primo?
Una interesante manera de examinar este problema es %Sandram$ tabla. Para más información acerca de Sandram tabla, se puede ver el libro
"El ingenio en Matemáticas" por Ross Hansberger
También, con algunos cálculos y utilizando el símbolo de Jacobi, usted encontrará que este problema es equivalente a este problema:
El polinomio $n^2+n-1$ generar infinito número primo, que es problema abierto. Usted puede encontrar más información acerca de esta cuestión en el Richard Tipo libro con el nombre de:
"Problema abierto en la teoría de los números".
Así que creo que tu problema es un tipo de problema abierto.
