Puede un grupo cíclico derivado de la serie?

Question

Dado cualquier grupo $G$, se puede considerar que su derivada de la serie

$$G = G^{(0)}\rhd G^{(1)}\rhd G^{(2)}\rhd\dots$$

donde $G^{(k)}$ es el colector de un subgrupo de $G^{(k-1)}$. Un grupo es perfecto si $G=G^{(1)}$ y por lo tanto tiene constante derivada de la serie, y solucionable si su derivada serie llega a la trivial grupo después de un número finito de pasos.

Es posible que un grupo se deriva de la serie cíclica, es decir, que $G \cong G^{(n)}$ para algunos $n>1$ e $G\not\cong G^{(k)}$ para todos los positivos $k<n$?

Tenga en cuenta que un grupo no puede ser finito, solucionable, ni co-Hopfian.

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Nota: esta pregunta fue publicado originalmente a las Matemáticas.SÍ aquí.

En los comentarios hay, se observó que un ser infinitamente libres generados por el grupo es un ejemplo de que el grupo no es perfecto, mientras que isomorfo a sus derivados subgrupo. De dónde la asunción por encima de ese $G$ no es isomorfo a sus derivados subgrupo.

Answer 1

Así que, vamos a activar los comentarios en respuesta. En este papel por B. H. Neumann, el autor de estudios ascendente serie de grupos de $1=G_0 < G_1 < G_2 < \cdots$ en que $G_i' = G_{i-1}$ para todos los $i \ge 1$. La mayoría de la ponencia es que se trate de probar que una serie debe terminar bajo ciertas hipótesis, pero en las Secciones 9 y 10 se describe ejemplos de una serie infinita de este formulario.

En el ejemplo de la Sección 9, tenemos $|G_1|=2$, y todos los otros $G_i$ son infinitas con el centro de la $G_1$ orden $2$.

Ahora, después de YCor la sugerencia, vamos a $G = \oplus_{n \ge 1} G_{2n}$ e $H = \oplus_{n \ge 1} G_{2n-1}$. A continuación, $G' \cong H$, $H' \cong G$ y, desde $H$ tiene un factor directo de la orden de $2$ pero (por las observaciones anteriores) $G$ no lo hace, tenemos $G \not\cong H$.

De manera que el grupo $G$ ha cíclicos derivados de la serie con el período de $2$.

De hecho, para cualquier $p \ge 1$, podemos dividir la suma directa de las $G_i$ a $p$ mutuamente disjuntas directa de los factores de esta forma y, puesto que sólo uno de estos $p$ factores tiene un sumando directo de la orden de $2$, esto le da un ejemplo de un grupo cíclico derivado de la serie de período de $p$.