¿Cuál es la diferencia entre los espacios topológicos y métricos?

Question

¿Cuál es la diferencia entre un espacio topológico y uno métrico?

Answer 1

Y. Bartal ha estudiado un problema relacionado de incrustación de espacios métricos a árboles separados jerárquicamente . Con $1 < \mu$ siendo un número real fijo, a $\mu$ -HST es equivalente al conjunto de vértices de un rectángulo cuyas aristas son de longitud $c, c\mu^{-1}, c\mu^{-2}, \dots, c\mu^{1-D}$ con el $l_\infty$ -métrico. Es decir, si se piensa en el espacio como el conjunto de secuencias de bits de longitud $D$ la distancia de dos secuencias es $c\mu^{-j}$ si primero difieren en el bit $j$ .

Ahora bien, en su pregunta no pidió $\infty$ -pero para este conjunto de puntos, no importa realmente qué métrica se tome porque la distorsión entre ésta y la $l_1$ o $l_2$ está limitada por una constante (si se fija $\mu$ pero $D$ puede variar).

(Esta métrica puede considerarse una métrica de grafos sobre un árbol especial, es decir, uno en el que los puntos son algunos (pero no necesariamente todos) vértices de un grafo de árbol con aristas ponderadas, y la distancia es el camino más corto. De ahí viene lo de "árbol" en el nombre).

Ahora bien, el resultado de Bartal en [1] dice básicamente que se puede incrustar cualquier espacio métrico al azar a un $\mu$ -HST con distorsión como máximo $\mu(2\ln n+2)(1+\log_\mu n)$ donde $n$ es el número de puntos. (Además, esta incrustación puede calcularse con un algoritmo polinómico aleatorio).

Para ello, hay que saber qué es una distorsión $\alpha$ incrustación aleatoria $f$ significa. Significa que para dos puntos cualesquiera $d(x,y) < d(f(x),f(y))$ es siempre verdadera y que el valor esperado de $d(f(x),f(y))$ es como máximo $\alpha d(x,y)$ . Para muchas aplicaciones, esto es tan bueno como una incrustación determinista con baja distorsión. De hecho, se puede hacer una incrustación determinista con baja distorsión a partir de ella imaginando la métrica $d^* $ en el espacio original donde $d^*(x,y) = E(d(f(x), f(y))$ pero esta noción no es demasiado útil porque la métrica resultante ya no tiene buenas propiedades (no es HST). De hecho, creo que la aleatoriedad es esencial aquí, ya que creo recordar haber leído en alguna parte que no se puede incrustar un grafo de ciclos (con pesos de aristas iguales) en un grafo de árboles con baja distorsión.

De todos modos, puede que esto no responda realmente a su pregunta. En primer lugar, $D$ (el número de dimensiones del rectángulo) no está determinado de antemano, pero eso no es un verdadero problema porque si tienes $D$ distancias significativamente diferentes en la métrica de entrada, entonces se necesita al menos esa $D$ para cualquier incrustación; y con esta incrustación no se necesita un $D$ más grande que $\log_\mu (\Delta/\delta)$ donde $\Delta$ y $\delta$ son las distancias mayores y menores en la entrada. El verdadero problema es que parece que quieres conocer una incrustación determinista, y la mayor distorsión posible necesaria en ese caso, que esto realmente no dice. Por ejemplo, un gráfico de ciclos con un número par $n$ de vértices puede, por supuesto, incrustarse isométricamente en un cubo de dimensión $n/2$ .

La encuesta [2] tiene algunas referencias más.

[1]: Yair Bartal, On Approximating Arbitrary Metrics by Tree Metrics. Simposio anual de la ACM sobre Fundamentos de la Informática , 37 (1996), 184-193.

[2]: Piotr Indyk, Jiří Matoušek, Low-distortion embeddings of finite metric spaces. Capítulo 8 en Manual de geometría discreta y computacional ed. Jacob E. Goodman y Joseph O'Rourke, CRC Press, 2004.

Answer 2

Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con otro conjunto que suele denotarse como $\tau$ que es una colección de subconjuntos de $X$ que satisface las siguientes propiedades:

1. $\emptyset, X \in \tau$
2. Unión contable o incontable de conjuntos en $\tau$ está de nuevo en $\tau$
3. Intersección finita de conjuntos en $\tau$ está de nuevo en $\tau$

El espacio $(X,\tau)$ se llama espacio topológico y el conjunto $\tau$ se llama topología en $X$ . Los elementos de $\tau$ se llaman conjuntos abiertos.

Un espacio métrico es un conjunto $X$ y una función $d:X \times X \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$ llamada "métrica" que toma dos elementos del conjunto y saca un número real no negativo. Esta métrica tiene que satisfacer ciertas propiedades:

1. $d(x,y) \geq 0$ , $\forall x,y \in X$
2. $d(x,y) = 0$ si $x=y$
3. $d(x,y) = d(y,x)$ , $\forall x,y \in X$
4. $d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$ , $\forall x,y,z \in X$

El espacio $(X,d)$ se denomina espacio métrico y $d$ es la métrica, es decir, una función tal que $d:X \times X \rightarrow \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$

Utilizando esta métrica, podemos definir conjuntos "determinados". El conjunto de estos conjuntos lo llamamos $\tau$ junto con el conjunto original $X$ puede demostrarse ahora que es un espacio topológico. Así que con cada espacio métrico $(X,d)$ podemos asociar un espacio topológico $(X,\tau)$ . Los elementos del conjunto $\tau$ son conjuntos abiertos.

Sin embargo, los espacios topológicos no tienen por qué surgir de un espacio métrico. Existen espacios topológicos no metrizables.

Answer 3

Creo que hay situaciones prácticas en las que una muestra puede ser más precisa. Por ejemplo, hicimos un estudio en una ciudad de un país en vías de desarrollo con mucha gente viviendo en lugares no registrados y con gente entrando y saliendo constantemente y siendo tímida a la hora de responder. Intentar hacer un censo habría requerido un esfuerzo hercúleo y, dados nuestros recursos, habría tenido que hacerse a lo largo de un par de meses, cuando la gente iba y venía. Con una muestra, podríamos dedicar más tiempo a asegurarnos de obtener una respuesta lo más completa posible -porque podríamos explicar lo que estábamos haciendo- y podríamos hacerlo en un plazo mucho más corto, lo que eliminaría el problema de la gente que entra y sale de la ciudad.

Así que creo que la respuesta depende más de la logística de lo que se está haciendo, y de las diversas fuentes de error no muestral.

De hecho, otra fuente era que nuestra encuesta era compleja y teníamos que formar a los entrevistadores, y encontrar y financiar suficientes entrevistadores capacitados en ese país sería muy difícil.

Answer 4

Una diferencia importante en cuanto a la técnica es que en un espacio métrico hay vecindades distinguidas, a saber, las bolas abiertas de radio $r$ alrededor de un punto $x$ : $$ B_r(x) = \{y\ :\ d(x,y)<r\}. $$ Estas bolas abiertas forman una base local para la topología y, por tanto, llevan toda la información sobre la topología del espacio métrico.

Mientras que en los espacios topológicos la noción de vecindad es sólo un concepto abstracto que refleja de alguna manera las propiedades que debe tener una "vecindad", un espacio métrico realmente tiene alguna noción de "cercanía" y por lo tanto, el término vecindad refleja de alguna manera la intuición un poco más.

Además, en un espacio métrico es más cómodo trabajar con secuencias que en un espacio topológico. Por ejemplo tiene todo el sentido, para memorizar la convergencia de una secuencia $(x_n)$ en un espacio métrico a un punto $x$ como "a partir de algún momento todos $x_n$ están arbitrariamente cerca de $x$ ". Una afirmación que es bastante inútil en un espacio topológico.

Answer 5

Si el espacio métrico se interpreta de forma suficientemente general, entonces no hay diferencia entre la topología y la teoría de los espacios métricos (con mapeos continuos). Basándose en las ideas de Kopperman, Flagg demostró en este artículo que con una axiomatización adecuada, la de los quantales de valor, todo espacio topológico es metrizable. Esto da lugar a una equivalencia precisa entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de espacios métricos generalizados, presentada en aquí (alg. univ. por aparecer).