¿Existe una prueba sin elección de que un dominio euclidiano es un UFD?

Question

Hice esta pregunta hace alrededor de una semana en math.SE sin ninguna respuesta. Mi motivación es pedagógica, pero quizá la pregunta se acerque más a la investigación de lo que pensaba.

La prueba (al menos la que yo conozco) de que un dominio ideal principal es un dominio de factorización única utiliza el axioma de elección de múltiples maneras, y la forma habitual de demostrar que un dominio euclidiano es un UFD es demostrar que es un PID (lo cual es fácil y constructivo).

¿Existe alguna prueba directa, que no utilice el axioma de elección, de que un dominio euclidiano es un UFD?

Answer 1

Hay dos partes para demostrar que un dominio euclidiano o un PID son UFDs: (i) la existencia de una factorización irreducible para cada no unidad distinta de cero y (ii) la unicidad esencial de la factorización irreducible (dos cualesquiera utilizan el mismo número de factores irreducibles y los irreducibles que aparecen en ambas factorizaciones pueden coincidir término a término hasta la multiplicación por una unidad).

Para demostrar (ii), el punto clave es que todo elemento irreducible es un elemento primo, y para demostrarlo hay que poder escribir $px + ay = 1$ para cualquier irreducible $p$ y elemento $a$ donde $p \nmid a$ la no divisibilidad implica (ya que $p$ es irreducible) que los únicos factores comunes de $p$ y $a$ son unidades, por lo que el algoritmo de Euclides en un dominio euclidiano permite resolver algorítmicamente $px + ay = 1$ para algunos $x$ y $y$ . En cambio, en un PID se observaría que el ideal $(p,a)$ tiene que ser $(1)$ .

Demostrar (i) es una distinción importante entre los dominios euclidianos y los EPI. Esto se puede hacer para los dominios euclidianos de una manera mucho más concreta que para los EPI. Comparo los enfoques para cada uno como Teoremas 4.2 y 4.3 en http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/ringtheory/euclideanrk.pdf . Es necesario leer primero las secciones 2 y 3 para ver a qué me refiero con lo de poder asumir el " $d$ -inequivalencia": un dominio euclidiano no no tiene que tener su función "norma $d$ sea totalmente multiplicativa o satisfaga $d(a) \leq d(ab)$ , pero siempre puedes ajustar la función "norma" para que se ajuste siempre a esa desigualdad si no lo hace al principio. (Algunos libros hacen que esta desigualdad forme parte de la definición de un dominio euclidiano y otros no). Por supuesto, en $\mathbf Z$ y $F[x]$ esa desigualdad es cierta, por lo que se ahorra algo de tiempo al demostrar que esos anillos son UFD en comparación con un dominio euclidiano general.

La conclusión es que sin duda no necesidad de introducir la maquinaria de PIDs para probar anillos como $\mathbf Z$ o $F[x]$ tienen factorización única. Después de todo, la factorización única en esos tipos de anillos, así como en $\mathbf Z[i]$ era conocido (digamos, por Gauss) mucho antes de que existiera el concepto de PID. Recuerdo que me sorprendí cuando vi por primera vez cómo se demostraba que las EPI eran UFD, puesto que ya conocía el caso de los dominios euclidianos y la demostración de la parte (i) para las EPI era bastante más abstracta de lo que esperaba.

Answer 2

Dada una unidad no $r \in R$ , dejemos que $p$ sea un divisor no unitario de $r$ que tiene una norma mínima. Entonces $p$ debe ser irreducible. Por inducción sobre la norma, sabemos que $r/p$ es un producto de primos (o una unidad), por lo que $r = p \cdot (r/p)$ es un producto de primos. No creo que la prueba habitual de la unicidad de la descomposición utilice el axioma de elección (la clave es simplemente demostrar que si $p \mid ab$ entonces $p \mid a$ o $p \mid b$ ), así que me parece que hemos terminado.