¿Por qué el modelo de Bohr calculó con éxito algunos de los niveles de energía del hidrógeno?

Question

El modelo de Bohr es incompleto y tiene inconvenientes. Pero hay una cosa que es un misterio para mí. ¿Por qué calculó con tanto éxito la serie de Rydberg con un número bastante bueno de dígitos correctos?

Al tener una predicción tan buena cabría esperar que existiera una extensión o modificación de la misma, aunque no la hayamos encontrado, que diera con el modelo correcto. Pero hoy en día lo hemos abandonado por completo y utilizamos la QED. Yo esperaría que a partir de la QED pudiéramos derivar las matemáticas del modelo de Bohr, mi subpregunta es si existe tal derivación y también sería super duper si pudiéramos esbozarla aquí.

Reproducir los niveles de energía no es suficiente, eso es demasiado simple. Lo que me molesta es que Bohr deriva la energía a partir de muy pocas suposiciones y establece la solución a través de un equilibrio de fuerzas natural. ¿Por qué un modelo defectuoso puede deducir los niveles de energía? Mi expectativa es que el éxito de utilizar este equilibrio de fuerzas debería poder ser respondido desde Shrödinger o Dirac y es este vínculo del que quiero saber más.

Answer 1

Lo que me fastidia es que Bohr deduce la energía a partir de muy pocas suposiciones y establece la solución mediante un equilibrio de fuerzas natural. ¿Por qué un modelo defectuoso puede deducir los niveles de energía?

El modelo de Bohr parece extraño en el contexto de la mecánica cuántica propiamente dicha, pero es mucho más sólido de lo que solemos reconocer. Muchas de sus características debe funcionan, porque sólo se basan en el principio de correspondencia, la idea de que la mecánica clásica y la cuántica deben coincidir en los regímenes en los que ambas son válidas.

Con niveles de energía elevados, $n \gg 1$ deberíamos poder recuperar la física clásica, que predice que los electrones emiten una radiación de frecuencia $\omega$ al rodear un protón con una frecuencia angular $\omega$ . Pero la mecánica cuántica predice que obtenemos una radiación de frecuencia $(E_n- E_{n-1})/\hbar$ como había motivado Planck en su tratamiento cuántico de la radiación varios años antes. Estos dos deben ser iguales. Subrayo que no se trata de una suposición aleatoria injustificada; es debe ser cierto si la mecánica cuántica y la clásica han de coincidir en los regímenes en los que ambas se aplican.

Haciendo un poco de álgebra, se puede mostrar que los radios de las órbitas van como $$R_n \propto n^2$$ para la alta $n$ . Aquí, el prefactor dimensional de Bohr es correcto debido al análisis dimensional; resulta que la constante de Planck es la única cantidad dimensional fundamentalmente nueva que se necesita. Mientras tanto, la dependencia básica de $n$ es perfectamente correcto, y como se ha comentado se deduce del principio de correspondencia. Del mismo modo, al hablar de órbitas circulares para altas $n$ es perfectamente válida, porque se pueden construir paquetes de ondas localizados a partir de estados cuánticos que sí realizan órbitas circulares bien definidas. De nuevo, si no se pudiera, la mecánica cuántica no se limitaría a la mecánica clásica, y sabemos que tiene que hacerlo.

El resultado de Bohr resulta ser equivalente a $L_n = n \hbar$ pero esto no fue lo que realmente usó. Solo digo que $L_n = n \hbar$ sin ningún otro contexto sería ser una suposición injustificada y totalmente aleatoria. Los libros de texto lo introducen así sólo porque es más corto, pero no es históricamente exacto.

De los radios de las órbitas se deduce que las energías son $$E_n \propto -\frac{1}{n^2}$$ donde de nuevo el prefactor es correcto por el análisis dimensional. De nuevo, esto no es una coincidencia; es el comportamiento genérico que se obtendría aplicando el límite semiclásico a cualquier potencial con un $1/r$ cola, por lo que también funciona para los estados de Rydberg en átomos más complicados.

El milagro del modelo de Bohr es doble. En primer lugar, funciona incluso para órbitas no circulares, que corresponden en la teoría cuántica completa a paquetes de ondas construidos a partir de estados con $\ell \lesssim n$ . Esto es especial para el hidrógeno; el resultado semiclásico general sería $$E_n \propto - \frac{1}{(n - \delta_\ell)^2}$$ donde $\delta_\ell$ se denomina defecto cuántico. Hoy en día, sabemos que la degeneración de los niveles con diferentes $\ell$ en el átomo de hidrógeno se debe a una $SO(4)$ simetría en puro $1/r$ que es el mismo que garantiza la conservación del vector Laplace-Runge-Lenz en la mecánica orbital.

El segundo milagro es que el resultado sigue funcionando bien incluso cuando $n$ no es grande. Esto no tiene ninguna justificación como las semiclásicas que di anteriormente, y supongo que se debe a que las ecuaciones simples tienen soluciones simples. En otras palabras, la naturaleza fue amable con Bohr. Las nuevas teorías suelen despegar con golpes de suerte como éste.

Answer 2

El modelo de Bohr en realidad forma parte de la "vieja teoría cuántica" anterior a la llegada de la mecánica ondulatoria y matricial que se basa en el concepto de la mecánica clásica de que el movimiento de las partículas (electrones) puede describirse en un espacio de fase con coordenadas generales $(q_i,p_i)$ . Bajo este supuesto existen órbitas, en particular órbitas periódicas. El ingrediente adicional esencial de este modelo era que la acción $J$ de tales órbitas

$$J_i =\oint p_i dq_i $$

está cuantificado, es decir, que

$$J_i =\oint p_i dq_i =n\hbar\quad \text{or}\quad J_i =\oint p_i dq_i =(n+\frac{1}{2})\hbar $$

Y de hecho, bajo esta suposición, Bohr y Sommerfeld pudieron lograr un par de acuerdos sorprendentes entre las líneas espectrales calculadas y las medidas. En este En este contexto recomiendo leer el capítulo 10 de Goldstein (Mecánica clásica) sobre "Teoría de Hamilton-Jacobi y variables de acción-ángulo" que muestra de manera impresionante en qué ideas se basa el modelo de Bohr. Pero el modelo de Bohr tiene un par de deficiencias, por ejemplo, el enlace químico no puede explicarse muy bien, una cuestión importante para los químicos. Tampoco el modelo de Bohr puede explicar todas las conclusiones que se derivan del principio de exclusión de Pauli (que es una especie de resultado de la QED respectivamente de la QFT). Y por último, no es compatible con el principio de incertidumbre de Heisenberg, según el cual la posición y el momento de una partícula no pueden medirse simultáneamente. Por lo tanto, el concepto de electrones que circulan en órbitas fijas tuvo que ser abandonado.
Como seguramente sabrá, una teoría sólo es valiosa mientras no pueda ser sustituida por otra mejor que aporte más conocimientos y comprenda un mayor número de descripciones correctas de los fenómenos.
La mecánica ondulatoria proporciona una imagen bastante diferente de la envoltura de un átomo que ya no utiliza el concepto de acción cuantificada $J$ . Por tanto, el formalismo del modelo de Bohr no puede "derivarse" de la QED o la QM. En cambio, el modelo de Bohr se basa en la mecánica clásica (véase más arriba). La mecánica ondulatoria, sin embargo, considera las líneas espectrales como manifestaciones de estados energéticos estacionarios en un sistema ligado que se encuentran mediante la solución de la ecuación de Schrodinger. Todos los libros de texto sobre mecánica cuántica lo demuestran.

Answer 3

La conjetura de Bohr fue que el momento angular orbital se cuantifica en múltiplos del cuanto de acción, y eso es correcto.

Bohr asumió órbitas circulares y eso es erróneo. Pero una característica del átomo de hidrógeno es que el $1/r^2$ la interacción deja todos los estados con el mismo número cuántico principal degenerado: orbitales "circulares" donde $\ell = n-1$ tienen la misma energía que $ns$ funciones de onda. (Como en la física clásica, donde sólo el semieje mayor de la órbita determina la energía).

Answer 4

Bohr dijo que un electrón giraba en ciertas órbitas estacionarias y dio su interpretación matemática.

Mientras que en la mecánica cuántica nos ocupamos de la probabilidad de encontrar un electrón alrededor del núcleo por lo que no podemos derivar los postulados de Bohr ya que Bohr dijo que "los electrones giran" en órbitas circulares mientras que la QED dice que "los electrones se pueden encontrar" en la región alrededor del núcleo pero la teoría de Bohr es bastante cercana a lo predicho por la QED.

Por lo tanto, para el estado de tierra la densidad de probabilidad lineal $P(r)$ se da como $$ P(r)=\frac {4r^2e^{\frac{-2r}{a_0}}}{a_0^3}\ . $$ La función de onda del electrón en el estado básico es también proporcional a $e^{\frac{-2r}{a_0}}$ . Por lo tanto, está claro a partir de las ecuaciones que el radio predicho por el modelo de Bohr está bastante cerca de la región de probabilidad predicha por la QED.

Answer 5

Quiero destacar el comentario de Fredric Thomas sobre el principio de correspondencia.

Podemos escribir una solución de la ecuación de Schrödinger como $$ \Psi = (A(t,x) + \hbar B(t,x) + ...)\exp(i S(t,x)/\hbar). $$ Ahora bien, si aplicamos la ecuación de Schrödingers recogiendo los términos con el mismo $h$ terminamos con una secuencia de ecuaciones donde la primera es

$$ A(\frac{\partial}{\partial t} + H(x,\nabla S)) = 0 $$ con $H=H(x,p)$ con $p_{x_i} = \frac{\partial S}{\partial x_i}$ . Así que si esto es una solución, podemos entonces especular que es posible resolver el resto de los sistemas y obtener una solución a la ecuación de Shrödinger. Para $A$ sólo constatamos que exigimos la existencia de la misma y que podemos normarla como

$$ \langle A|A \rangle = 1 $$

De todos modos podemos eliminar $A$ en la ecuación y concluir que $S$ resuelve la ecuación de Hamilton Jacobi para la que el modelo de Bohr es una solución, por ejemplo $$ -\frac{\partial S}{\partial t} = H(x,\nabla S). $$

Obsérvese que las invariantes del movimiento pueden calcularse de forma aproximada porque la normalización de $A$ .

Si buscas la solución de la ecuación de Hamilton Jaccobi para la mecánica de dos cuerpos con potenciales esféricos en coordenadas esféricas, que es el mismo sistema que esta acción $S$ pero con diferentes constantes encontrarás que la acción es de la forma $$ S = S_r(r) + S_\theta(L,\theta) + L_z\phi - E t $$ El lector astuto se dará cuenta de que esto es diferente a las soluciones tradicionales de la ecuación de Schrödinger. Por lo tanto, algo está mal. Primero olvídate de esto, hay más cosas raras con esta solución. A saber, está definida en un plano porque $L_z$ es una constante. Así que lo que tenemos es una especie de sub-solución que cubre sólo una parte de $R^3$ . Podríamos decir que tal vez podemos dividir las soluciones de la ecuación de Schrödinger en más sub-soluciones con la ecuación de Schrödinger restringida a un plano se resuelve. No obstante, en aras del argumento, vamos a suponer que tales soluciones son posibles de definir matemáticamente y que están acotadas y son lo suficientemente regulares. La primera observación es que todas esas soluciones son ortogonales porque la intersección de diferentes planos consiste en una línea que tiene medida cero en la jerga matemática o la integral es cero a lo largo de esa intersección. Esta propiedad significa que podemos ponderar todas esas soluciones (la misma energía pero diferente $L,L_z$ ) juntos. Pero fíjate en una de esas soluciones específicas en la que $L=L_z$ entonces tenemos el factor $\exp(iS_{\phi}/h) = \exp(iL_z\phi/h)= \exp(iL\phi/h)$ . Si hacemos un giro, por ejemplo $\phi = 2\pi$ entonces esperaríamos que la solución volviera al mismo valor debido a que algún sentido matemático como que se siente natural y también que tenemos muchos argumentos en otras respuestas que tal es el caso, y por lo tanto asumimos $L 2\pi/hbar = 2\pi n$ y, $$ L = \hbar n \qquad n=1,2,3,4,... $$ En este sentido Schrödinger implica que el modelo de Bohr se satisface y siempre en la QM hay un modelo correspondiente como el de Bohr. También para los problemas de muchos cuerpos, pero aquí asumo que la matemática se vuelve intratable para el sistema clásico por lo que nunca se utiliza.

Hay una observación más que podemos hacer. $L$ es una constante del movimiento y por lo tanto un peso uniforme de ellos resultará en que todos ellos se sumen con un peso uniforme y resulten en un momento angular total nulo, por ejemplo, el mismo que el momento angular para el estado de tierra. $\exp(-Et)$ es el mismo para todos ellos, así que ese factor se mantiene.