Generadores gradual del anillo de las formas modulares

Question

Deje $\Gamma$ ser finito-índice subgrupo de $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})$. He visto que se dijo en un comentario en el código de un programa informático) que el graduado de anillo $$ M(\Gamma, \mathbb{C}) = \bigoplus_{k \ge 0} M_k(\Gamma, \mathbb{C}),$$ donde $M_k(\Gamma, \mathbb{C})$ es el espacio de las formas modulares de peso $k$ y el nivel de $\Gamma$, siempre se genera como un $\mathbb{C}$-álgebra a través de formularios de peso $\le 12$.

¿Por qué es esto cierto? Por otra parte, se puede mejorar en la cota de los 12? (Para los subgrupos $\Gamma_0(N)$, peso $\le 6$ siempre parece ser suficiente).

Answer 1

De hecho, para cualquier congruencia de los subgrupos $\Gamma \subset SL_2(\mathbb Z)$, (de cualquier nivel) el graduado de anillo de $M_k(\Gamma)$ se genera en peso en la mayoría de los 6, con las relaciones de peso en la mayoría de los 12. Además, en el caso de que $M_3(\Gamma) \neq 0,$ es decir, existe una forma modular de peso desigual, (ver Comentario 1.6 de Landesman, Ruhm, y Zhang vinculado a continuación,) $M_k(\Gamma)$ se genera en peso en la mayoría de los 5, con las relaciones de peso en la mayoría de los 10. En el caso de que $M_3(\Gamma) \neq 0$ y el género de la superficie de Riemann correspondiente a $\Gamma$ es $0$ o $1$,, a continuación, $M(\Gamma)$ se genera en peso en la mayoría de los 4 con las relaciones de peso en la mayoría de los 8.

Una prueba de la siguiente manera de combinar los resultados de dos recientes artículos, a saber, el Teorema 1.4 (el principal resultado) y el Teorema 9.3.1 de Voight y Zureick-Marrón http://arxiv.org/abs/1501.04657 y el Ejemplo 1.7 de un artículo por mí mismo, Ruhm, y Zhang http://arxiv.org/abs/1507.02643.

Para explicar cómo estos resultados encajan, hay dos casos. En el caso de que exista un valor distinto de cero impar de peso de forma modular está cubierto por Ejemplo 1.7 de Landesman, Ruhm, y Zhang. Así, basta para mostrar que, si no se extraña de peso de forma modular, entonces el anillo de las formas modulares se genera en peso en la mayoría de los 6, con las relaciones de peso en la mayoría de los 12. En primer lugar, en el caso de que $g > 0$, esto se sigue inmediatamente de la última frase del Teorema 1.4 de Voight y Zureick-Marrón debido a $2g -2 \geq 0$ y congruencia de los subgrupos sólo puede tener elíptica puntos de órdenes 2 y 3, y por lo $3 = \max(3,e)$. En segundo lugar, si $g = 0$, tenga en cuenta que debido a $\Gamma$ es una congruencia subgrupo tiene algunas cúspide, por lo $\delta \geq 1$ (donde $\delta$ es el número de cúspides). Ya que todas las excepcionales firmas que figuran en la tabla en la declaración del Teorema 9.3.1 ha $\delta = 0,$ que no se producen por la congruencia de los subgrupos. Por lo tanto, en la última frase del Teorema 9.3.1, tal congruencia de los subgrupos se generan en peso en la mayoría de las $2e = 6$ con relaciones de peso en la mayoría de las $2 \cdot 2 e = 12$.

Una nota final: en Voight y Zureick-Brown, se dice que el anillo se genera en el grado $e$, pero el grado $e$ es el mismo peso $2e$ por su clasificación convención.

Edit: Las declaraciones de arriba pulsado sobre cualquier campo perfecto (o, más generalmente, cuando el stacky de la curva asociada a $\Gamma$, como se discutió en la Voight y Zureick-Marrón en el Capítulo 5, es manso y separadamente sus raíces). Sin embargo, como ha señalado John Voight en los comentarios, de generación en peso 6 y las relaciones en peso de 12 aún se mantiene a lo largo de más general a base de anillos. Ver Voight y Zureick-Marrón Proposición 11.3.1 para más.

Edit: a La respuesta anterior, ahora es totalmente explicado en el Ejemplo 1.7 de Landesman, Ruhm, y Zhang, se hace referencia anteriormente.

Answer 2

En el caso especial de la directora de la congruencia de los subgrupos $\Gamma=\Gamma(N)$ con $N \geq 3$, Khuri-Makdisi ha demostrado que el graduado de álgebra de las formas modulares en $\Gamma$ es generado por las formas modulares de peso 1. De hecho, el álgebra generada por la Eisenstein serie de peso 1 contiene todas las formas modulares de peso $\geq 2$, por lo que pierde sólo la cúspide de las formas de peso 1. Esto queda demostrado en su artículo Módulos de interpretación de Eisenstein de la serie.

En el caso de $N=2$,, a continuación, $M_*(\Gamma(2))$ es de libre generado por el peso de 2 Eisenstein serie $e_1,e_2$ obtenido por poner el universal de curva elíptica en la forma $y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$.