Cuando es una extensión de $\mathbb{Z}$ por un grupo libre de un GATO(0) grupo?

Question

La pregunta tiene una respuesta fácil, si se reemplaza libre por el libre abelian: a Continuación, el grupo resultante siempre es solucionable, y una solución subgrupo de un GATO(0) grupo es prácticamente abelian. Si el resultado fue de GATO(0), entonces el elegido automorphism $\varphi$ en $\mathbb{Z}^n\rtimes_\varphi \mathbb{Z}$ habría finito de orden - de lo contrario, el grupo no sería prácticamente abelian.

Ahora uno puede hacer la misma pregunta para el grupo de free en lugar de ello, o bien el grupo abelian. Me gustaría saber para que automorfismos $\varphi$ de la libre grupo de $F_n$ el grupo $F_n\rtimes_\varphi \mathbb{Z}$ es CAT(0).

Sólo sé, que $F_n \times \mathbb{Z}$ es CAT(0). Yo creo que si el elegido automorphism tiene orden finito, entonces el resultado debe ser GATO(0) (aunque no tengo una prueba). Y no sé automorphism, que le da un no-GATO(0) del grupo.

Answer 1

Un ejemplo de una libre-por-cíclico grupo que no es GATO(0) fue dado por Gersten. Es construido a partir de la automorphism de $F_3\cong\langle a,b,c\rangle$ que envía

$a\mapsto a,~b\mapsto ba,~ c\mapsto ca^2~.$

La idea de la prueba es pensar acerca de la traducción, longitudes y pisos en cualquier GATO(0) el espacio en el que actúa. Como $\langle a,t\rangle\cong\mathbb{Z}^2$, se estabiliza algunos plana. Pero $t$, $at$ y $a^2t$ son todos conjugada, por lo que tienen la misma traducción longitudes. Un poco de reflexión muestra que esto es imposible en un piso.

Tenga en cuenta que, en muchos aspectos, (fg gratis)-por-cíclico de los grupos son difíciles de distinguir de GATO(0) grupos. Por ejemplo, se han cuadrática desigualdad isoperimétrico.

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Como se ha señalado en este blog, la pregunta

Que gratis-por-cíclico de los grupos son de GATO(0)?

es Cuestión 7.9 de Bridson OBJETIVO del artículo acerca de los " Problemas relativos a hiperbólico y el GATO(0) de los grupos.

Answer 2

Usted encontrará algunos ejemplos de GATO(0) gratis-por-cyclics en

Samuelson, "En el GATO(0) estructuras gratis-por-cíclico de los grupos"

y

Barnard y Brady, "Distorsión de la superficie de grupos en el CAT(0) gratis-por-cíclico de los grupos"

Answer 3

Si usted toma la asignación de toro de una automorphism de una superficie con límite, entonces tiene un no-positivamente curva métrica por un resultado de Leeb. Tal automorfismos pesar de que será escasa en el conjunto de todos los automorfismos de un grupo libre (excepto en el nivel 2, como se señaló en un papel de Brady).

Answer 4

En este papel de Mark F. Hagen y Daniel T. Sabio muestran que un hiperbólico, gratis-por-cíclico grupo cuyo monodromy es irreductible actos geométricamente en un GATO(0) cubo complejo. Hyperbolicity significa para dichos grupos, que la automorphism no soluciona la clase conjugacy de un trivial de la palabra por Brinkmanns Teorema.