Finito de sumas de números primos $\geq x$

Question

Deje $S_x$ el conjunto finito de sumas de números primos $\geq x$. En otras palabras, vamos a $S_x$ ser el submonoid de $(\mathbf{Z}_{\geq 0},+)$ generado por el conjunto de $\mathcal{P}_{\geq x}$ de los números primos $\geq x$.

Es fácil ver que $S_x$ contiene cada suficientemente grande entero. Esto se desprende de la clásica hecho de que dados dos coprime enteros $a$ e $b$, cada suficientemente grande entero, de hecho cada entero $\geq (a-1)(b-1)$, es de la forma $ma+nb$ para algunos $m, n \in \mathbf{Z}_{\geq 0}$. Ver por ejemplo esta página.

Deje $N_x$ ser el entero más grande que es no $S_x$.

Ejemplos :

Si $x=2$ entonces $S_2 = \{0\} \cup \mathbf{N}_{\geq 2}$, de modo que $N_2=1$.

Si $x=3$ entonces $S_3 = \{0,3\} \cup \mathbf{N}_{\geq 5}$, de modo que $N_3=4$.

Por definición, tenemos $N_x \geq x-1$ (de hecho la paridad consideraciones implican que $N_x \geq 2x-2$ para $x \geq 3$).

Por otro lado, dado que hay al menos dos primos en el intervalo de $[x,2x]$, por encima de la clásica de hecho implica que $N_x \ll x^2$.

¿Cuál es el comportamiento asintótico de $N_x$ as $x \to \infty$ ?

Answer 1

(Modificado de acuerdo a los comentarios de abajo)

En su artículo titulado "las Sumas de los Distintos números Primos', Kløve conjetura, sobre la base de evidencia computacional, que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{N_x}{x} = 3$. Esto implicaría el binario de la conjetura de Goldbach (por lo suficientemente grande como $x$) de la siguiente manera: si todo entero mayor que el $(3 + \epsilon)x$ puede ser escrito como la suma de los números primos, donde los números primos son todos mayores de $x$, luego, en particular, cada número entre el $(3 + \epsilon)x$ e $4x$ puede ser escrito como suma de dos primos.

Answer 2

Acaba de explicar, Si Golbach la conjetura es falsa, entonces al menos una vez $N(x)>4x$, pero que parece muy improbable. Es cierto que $N(x)>3x$ infinitamente a menudo, pero hay razones para creer que la $N(x)<(3+\epsilon)x$ con un número finito de excepciones. Si es así, entonces podríamos forma equivalente de definir $N_x$ como el mayor entero impar que no es ni el primer ni una suma de $3$ los primos de todos, al menos,$x$.

con frecuencia sucede que el próximo primer después de $p$ al menos $p+8.$ En estos casos, se puede escribir $3p$ como una suma de números primos, al menos, $x=p$ sin embargo, al menos uno de los números impares $3p+2,3p+4,3p+6$ sí no es el primer y, por tanto, no es una suma de todos los números primos mayores que $x=p.$ Este establece que $N(x)>3x$ infinitamente a menudo.

No hay ninguna prueba de que todo entero par es suma de dos primos. Hubo un contra-ejemplo, $E$, tendría que ser una suma de al menos 4 de los números primos y por lo tanto proporcionar un ejemplo de $N(x)>4x$ donde $x$ es $\frac{E}{4}.$ sin Embargo, hay razones para creer que la declaración más fuerte que para cada $\epsilon \gt 0$ hay un $M(\epsilon)$ tal que $2m$ es la suma de dos números primos, ambos mayores de $m(1-\epsilon)$ para todos los $m \gt M(\epsilon).$ Si es así, entonces $N(x)<(3+\epsilon)x$ siempre que $x$ es razonablemente grande $\frac{M(\epsilon)}{1-\epsilon}.$

Answer 3

De acuerdo a "Los tres teorema de los números primos con casi la misma sumandos" por Baker y Harman, cada una de las grandes extraño $N$ es una suma de tres números primos cada uno de tamaño $\sim N/3$. (De hecho, dentro de $N^{4/7}$ de % de$N/3$, que es mucho más de lo que necesitamos, por lo que podríamos usar más débiles resultados de los autores anteriores, si se prefiere.)

Por extraño $N$, esto le da a $N$ como una suma de tres números primos, cada uno de al menos $\sim N/3$. Si $N$ es aún, tomar un primer $p$ del tamaño de la $\sim N/4$ (que existe por el teorema de los números primos), y escribir $N-p$ como una suma de tres números primos de un tamaño de unos $N/4$. Así, obtenemos $N$ como una suma de cuatro números primos, al menos,$\sim N/4$.