Después de ver la pregunta Fórmulas importantes en combinatoria He pensado que podría ser interesante disponer de una lista similar de desigualdades, aunque no restringida a la combinatoria. Al igual que con esa lista, debería haber algunas reglas.
- La desigualdad no debe ser demasiado conocida. Esto es para descartar cosas como Cauchy-Schwarz o las desigualdades de Sobolev. La desigualdad debería ser desconocida para la mayoría de los matemáticos.
- La desigualdad debe representar las matemáticas de nivel de investigación. Esto está tomado directamente de la otra lista, y parece una buena regla.
- La desigualdad debe ser importante. Dado que es más fácil encontrar desigualdades que fórmulas exactas, esto debería ser más restrictivo que en la otra lista. La idea es tener desigualdades que hayan desempeñado un papel importante en el desarrollo de algún campo.
- Una respuesta puede ser una clase de desigualdades. Como se señala en los comentarios, a menudo lo importante es una familia de desigualdades que transmiten todas la misma idea, pero en la que ningún resultado es el ejemplo fundamental. Esto es perfectamente aceptable, y quizás incluso se fomente, ya que cualquier ejemplo de este tipo tendrá probablemente muchas aplicaciones.
Para dar una idea de lo que quiero decir, permítanme dar un ejemplo que creo que satisface los tres primeros criterios: la estimación de Li-Yau.
La desigualdad de Li-Yau es la estimación $$ \Delta \ln u \geq - \frac{ n}{ 2t}.$$
Aquí $u: M \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+ $ es una solución no negativa de la ecuación de calor $ \frac{\partial u}{\partial t} = \Delta u, $ $(M^n,g)$ es una variedad riemanniana compacta con curvatura de Ricci no negativa y $\Delta$ es el operador de Laplace-Beltrami.
Esta desigualdad desempeña un papel muy importante en el análisis geométrico. Proporciona una desigualdad diferencial de Harnack para las soluciones de la ecuación del calor, que se integra en la estimación estándar de Harnack. Hay muchos resultados que refuerzan la desigualdad original o la adaptan a un entorno diferente. También hay resultados que no son generalizaciones de la desigualdad original, pero que llevan su influencia. Por ejemplo, Hamilton demostró una versión tensorial de la desigualdad de Li-Yau para una variedad que tiene una curvatura seccional no negativa y que evoluciona por flujo de Ricci. Además, uno de los avances importantes de Perelman fue demostrar una versión de la desigualdad de Hamilton-Li-Yau para una solución del flujo térmico invertido en el tiempo cuando la métrica evoluciona por el flujo de Ricci. Estos resultados no son en absoluto corolarios de la estimación original de Li-Yau, pero tienen un espíritu similar.
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A menudo, en el análisis es un clase de desigualdades que es importante, más que una desigualdad específica de esa clase. Por ejemplo, la clase de desigualdades de concentración de medidas (Chernoff, Hoeffding, Bernstein, Azuma, McDiarmid, Levy, Talagrand, etc.) es extremadamente importante en la probabilidad moderna, la combinatoria, la teoría de las matrices aleatorias, la geometría de alta dimensión y la informática teórica, pero yo no destacaría una sola desigualdad de esta clase como particularmente fundamental.
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Gracias por el comentario. La concentración de la medida es definitivamente el tipo de cosa que tenía en mente cuando hice esta pregunta, así que voy a editar la pregunta para permitir clases de desigualdades.
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@GabeK la desigualdad de Li-Yau sería un ejemplo de los cuatro criterios, no sólo de los tres primeros, ¿no? Desde las ecuaciones escalares hasta el flujo de Ricci y el flujo de curvatura media, pasando por las estimaciones originales del gradiente de Yau y Cheng-Yau en el entorno elíptico
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@QuartoBendir Probablemente tengas razón. La cuarta condición se añadió más tarde y yo pensaba en la versión parabólica original como ejemplo prototípico.
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Esta pregunta puede alentar respuestas que son bien conocidas por todos en un determinado subcampo, pero que no son necesarias o relevantes para personas ajenas a ese ámbito. ¿Está bien o es deseable?
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@usul Creo que ese es básicamente el objetivo. Las desigualdades deben ser lo suficientemente importantes como para ser ampliamente utilizadas en algún área, pero no ser bien conocidas por la gente en un campo no relacionado.