Específicamente, me parece atractivo a contar sólo squarefree números habiendo $k$ factores primos, así que me definen
$$\pi_k(x)=\#\{n\leq x: \omega(n)=k;\mu(n)\neq0 \}$$
y considerar las funciones de generación
\begin{eqnarray}f(z,x)&=&\sum_{k=0}^{m(x)}\pi_k(x) z^k\\ &=&\sum_{n\leq x}|\mu(n)|z^{\omega(n)}. \end{eqnarray}
Por un lado, estas funciones de generación son polinomios en $z$ grado $$m(x)=\max \{\omega(n): n\leq x;\mu(n)\neq 0\}\sim\log x/\log\log x.$$ En el otro, son la inversa de la transformada de Mellin
$$F(z,s)=\prod_p1+zp^{-s}=H(z,s)\zeta^z(s)$$
donde $H(z,s)$ es una analítica de la función de $s$ fijos $z$ que está delimitada por encima y lejos de cero en cualquier medio avión $\sigma\geq\sigma_0>1/2$.
He comprobado que las raíces de $f(z,x)$, como polinomios en $z$, de hecho tienen partes reales negativas para todos los $x\leq 10^6$.
¿Por qué las raíces tienen partes reales negativas? ¿Qué le diría sobre $\zeta(s)$ o a los números de $k$-casi primos menos de $x$ si las raíces fueron negativos partes reales?
En la hipótesis de Riemann, uno esperaría encontrar las raíces--- - en algún sentido---más cerca de los no enteros positivos como $x\rightarrow\infty$ debido a que estos son los únicos valores de $z$ para que $\zeta^z(s)$ es analítica en todo un barrio de $s=1$ y, por lo tanto, los únicos puntos en que $f(z,x)\in O(x^a)$ para algunos $a<1$. Sin embargo, estoy interesado en el menos restrictivo de la conjetura de que tienen partes reales negativas.
Soy consciente de la noción de "estabilidad" de la traducción lineal invariante en los sistemas y en los sistemas dinámicos, y es la equivalencia con la positividad del principio de menores de edad de los asociados Hurwitz matrices, Routh tablas, Sylvester criterio, etc. Me parece que estas equivalencias sirven más como una prueba de que el razonamiento, sino, si se puede decir algo en este sentido, me gustaría escuchar acerca de eso también.
Parece que esto puede estar relacionado con el hecho de que $\zeta^z(s)$ tiende a infinito o cero como $s\rightarrow 0^+$ dependiendo de si $\Re z$ es positivo o negativo. Sin embargo, para un pequeño $\Re z$ e $s=1$ la convergencia es muy leve, y haciendo la distinción parece ser un problema difícil.
Uno se puede generalizar a esta pregunta y preguntar acerca de la ubicación de las raíces de $$f(z,x;s)=\sum_{n\leq x} \frac{|\mu(n)|z^{\omega(n)}}{n^s}.$$
Computacionalmente, parece que la misma conjetura tiene siempre $s$ es real y, por otra parte, hay una buena razón para que esto sea cierto al $s>1$ es real, porque $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(z,x;s)=F(z,s)$$ y este límite no tiene ceros en la mitad izquierda del plano. Sólo se necesita entonces una aproximación teorema sobre la distribución de los ceros de una uniformemente convergente secuencia cuyo límite se ha determinado la distribución de los ceros. Un enfoque posible para el problema original, entonces podría ser a través de la suma parcial $$f(z,x;s)=x^{-s}f(z,x)+s\int_{1}^{x}\frac{f(z,y)dy}{y^{s+1}}$$ pero no he tenido ningún éxito con esto.
