¿Por qué se utiliza "cálculo formal" para describir cálculos informales?

Question

Muchas veces, veo la palabra formal para describir un cálculo que no es riguroso. Creo que esos cálculos deberían denominarse más bien informal que formal . ¿Cuál es la explicación del uso tan extendido del término formal ?

Answer 1

Formal, adj . Relativo o relativo a la forma o estructura exterior, a menudo en contraste con el contenido o el significado.

En matemáticas, un argumento formal es aquel que manipula la formulario de una expresión sin analizar la interpretación de dicha expresión. Por ejemplo, uno puede intercambiar formalmente un límite y una integral (o una suma y una integral, etc.) sin apelar a un teorema (por ejemplo, el teorema de Fubini, el teorema de convergencia dominada, etc.) que pueda justificar rigurosamente ese intercambio, o incluso sin comprobar que todas las integrales, series o límites convergen realmente. Como tales, los argumentos formales pueden no ser rigurosos inicialmente, pero si uno sabe lo que está haciendo, a menudo puede hacerlos rigurosos, quizá después de interpretar todos los objetos implicados en un marco riguroso adecuado (por ejemplo, utilizando la teoría de distribuciones, o de serie formal de potencias etc.).

Informal, adj . Adecuado o característico del habla o la escritura informales y familiares, pero educados.

El razonamiento matemático informal es un tipo de argumentación no rigurosa diferente del razonamiento matemático formal no riguroso, en el que no se atiende a la forma precisa de las expresiones matemáticas en discusión, sino que se utilizan términos más informales y confusos, por ejemplo, refiriéndose a varias cantidades matemáticas como "grandes" o "pequeñas" en lugar de especificar límites precisos. En el razonamiento informal se utilizan adjetivos imprecisos como "aproximadamente", "más o menos", "moralmente", "esencialmente" o "casi", y también se recurre mucho al razonamiento por analogía. Una vez más, si se sabe lo que se está haciendo, a menudo se puede convertir un argumento matemático informal en uno riguroso, aunque a menudo las definiciones precisas necesarias para establecer una versión rigurosa de un concepto informal pueden ser bastante técnicas, y una afirmación informal que es intuitivamente obvia puede requerir una prueba rigurosa bastante larga una vez que se precisa de esta manera.

En cuanto a la relación entre razonamiento informal, razonamiento formal y razonamiento riguroso, considero que la Diagrama de Venn Diagrama de Euler como sigue:

Existe cierto solapamiento entre el razonamiento formal y el razonamiento riguroso, como cuando se utiliza un sistema deductivo formal (o software para hacer pruebas asistidas por ordenador ) para establecer algún enunciado matemático. Sin embargo, en la mayoría de los escritos matemáticos rigurosos no se suele recurrir a esos sistemas formales, y se utilizan argumentos que son precisos (por oposición a los informales), pero no se argumenta únicamente basándose en la forma de las expresiones para justificar los pasos del argumento.

EDIT: Pensándolo mejor, yo diría que también existe (de forma un tanto paradójica) cierto solapamiento entre los modos de razonamiento formal e informal, en los que uno argumenta manipulando términos imprecisos de forma puramente formal, sin una comprensión más profunda de lo que significan esos términos, ni siquiera de forma aproximada. (Según mi experiencia, los deberes de un estudiante universitario de matemáticas desesperadamente confuso pueden producir a menudo razonamientos de esta categoría). Ni que decir tiene que los razonamientos en esta intersección suelen estar muy lejos de ser rigurosos, hasta el punto de ser irremediablemente erróneos. [Uno de mis ejemplos favoritos de razonamiento en esta categoría: "Nada es mejor que la felicidad eterna. Un bocadillo de jamón es mejor que nada. Por lo tanto, un bocadillo de jamón es mejor que la felicidad eterna"].

SEGUNDA EDICIÓN: Las distinciones anteriores también están relacionadas con las etapas "pre-rigurosa", "rigurosa" y "post-rigurosa" del desarrollo matemático, como se discute en mi blog. aquí . En la etapa prerrigorosa, inicialmente sólo se puede proceder utilizando el razonamiento informal, el razonamiento formal o una confusa mezcla de ambos (como ya se ha comentado). En la etapa rigurosa, el énfasis se pone naturalmente en los modos rigurosos de razonamiento, mientras que los modos de razonamiento anteriores a la etapa rigurosa se desaprueban (y en el caso de los modos de razonamiento irremediablemente "malos", se descartan por completo). En el estadio postriguroso, además del razonamiento riguroso, se utilizan libremente los tipos "buenos" de razonamiento formal e informal y, además, se es capaz de pasar de un tipo de razonamiento a otro, como ya se ha dicho.