Connes-Kreimer álgebra de Hopf y cósmica grupo de Galois

Question

Hola,

Estoy interesado en la relación entre los dos siguientes construcciones motivado por renormalization:

• Connes-Kreimer da una interpretación de la renormalization procedimiento en el marco de un álgebra de Hopf $H$ de los árboles de raíces. Por Cartier-Milnor-teorema de Moore, $H$ es el álgebra de funciones regulares en algunos pro-algebraica de grupo, que resulta ser el llamado Carnicero de grupo $B$.
• Connes-Marcolli, a continuación, se considera la ecuación diferencial satisfecho por las divergencias que aparecen en el anterior trabajo, lo que conduce a la introducción de una categoría de "equisingular plana de conexión" que, hasta ahora entiendo, son más o menos específicos, $B$valores principales paquetes equipadas con una tv de conexión de hasta algunos de equivalencia de la relación. Resulta que esta categoría es tannakian, lo que significa que es equivalente a la categoría de los módulos a través de algunos pro-algebraica de grupo $G$. Se observa que el $G$ actúa sobre cualquier teoría renormalizable en una buena manera, de ahí el nombre de "cosmic grupo de Galois", que fue acuñado por Cartier. Es más que una analogía, ya que $G$ es (no canónicamente) isomorfo a algunos motivic grupo de Galois.

No pretendo entender estas cosas en todos, especialmente de la "física" de parte, así que mi pregunta es tal vez ingenuo. La vaga pregunta es:

Hay una "relación directa" entre el grupo de $G$ y el álgebra de Hopf $H$ ?

Por supuesto que hay algunas relaciones entre las dos, así que tal vez de una manera más precisa la pregunta es:

Hay una definición de $G$ en términos puramente de la combinatoria de Feynman gráficos, o como el automorphism grupo de algo (algo más que una fibra functor) ?

De hecho, si entiendo Marcolli la encuesta correctamente, $G$ acción en las teorías físicas de los factores a través de una acción de $B$ (pero parece más bien surprizing, por lo que es muy probable que no he entendido algo). Así que por el bien de la curiosidad, la otra ingenua pregunta es:

"Por qué" es $G$, y no $B$ que desempeña el papel de un cósmico grupo de Galois ?

Mi motivación para esta pregunta viene de la (altamente no trivial) hecho de que (en algún grupo que está casi) $G$ incrusta en el graduado de Grothendieck-Teichmuller grupo $GRT$, la cual puede ser definida como la automorphism grupo de un cierto operad de Feynman gráficos. Desde $G$, más o menos, por definición, relacionados con la combinatoria de estos gráficos, me pregunto si hay un concreto "combinatoria" de la definición de ella.

Edit: Para ser preciso también considerar la posibilidad de una más general de Hopf álgebra de los diagramas de Feynman (no sólo los árboles de raíces). Llaman a la correspondiente pro-algebraica de grupo el grupo de "diffeographism". Mi afirmación acerca de la acción de la $G$ está relacionado con este grupo y no a $B$, supongo.. Así que vamos a suponer que yo estoy pidiendo a mi pregunta en este ajuste.

Edit 2: debería haber mencionado que en la realidad hay álgebras de Hopf de Feynman gráficos cuya elección depende de la particular teoría física que usted está considerando (es decir, usted tiene que elegir un determinado "tipo" de Feynman gráfico), por lo que en realidad hay un montón de diffeographism grupos, y $G$ es universal entre ellos (que de hecho la respuesta a mi última pregunta, aunque el Carnicero grupo todavía parece jugar un gran papel). Por otro lado me parece que matemáticamente todavía tiene sentido realizar considerar el álgebra de Hopf de todos los Feynman gráficas, pero tal vez lo que se obtiene es, precisamente, $\mathcal H _{\mathbb U}$ (ver Gjergji la respuesta) ?

Y para expandir lo que estoy diciendo en mi comentario a Gjergji la respuesta es bastante evidente, por ejemplo, que el $\mathcal H _{\mathbb U}$ es isomorfo al doble del álgebra no conmutativa de simétrica funciones, ya que este último es también, por definición, un libre gradual de álgebra no conmutativa con un primitivo generador en cada uno de los grados (que son análogos de la suma de la energía simétrica polinomios). De hecho, la definición abstracta de $\mathcal H _{\mathbb U}$ sí es bastante explícito y la combinatoria, por lo tanto estoy realmente buscando un vínculo conceptual.

Answer 1

Esto es más de un comentario donde yo quería señalar que no hay un tratamiento paralelo de este cósmica grupo de Galois que evita la Riemann-Hilbert enfoque y es más combinatoria en algún sentido.

El primer documento a señalar este punto de vista es, creo, "Una Mentira enfoque teórico para renormalization" por K. Ebrahimi-Fard, J. M. Gracia-Bondia y F. Patras. También hay un buen resumen en "Dynkin operadores y renormalization grupo de acciones en pQFT".

Primera nota de que la radiación cósmica de Galois grupo $\mathbb U$ se define como el grupo afín esquema asociado a la propiedad conmutativa de álgebra de Hopf $$\mathcal H _{\mathbb U}:=\mathcal U(\mathcal F(1,2,3,\dots) _{\bullet})^{\vee}$$ donde $\mathcal F(1,2,3,\dots) _{\bullet}$ es gratis clasificados Mentira álgebra con un generador en cada grado $n > 0$.

Los papeles por encima de explicar, entre otras cosas, cómo la universalidad de la radiación cósmica de Galois grupo puede ser interpretado como diciendo que esta álgebra de Hopf y grupo asociado esquema de actuar en todos los Connes-Kreimer álgebras de Hopf de los diagramas de Feynman. Sin embargo, esta álgebra de Hopf, también llamado el Descenso de álgebra es conocido por actuar de forma natural en todos conectados gradual conmutativa álgebras de Hopf, por lo que es universal en un sentido más amplio.

Ahora, si ves el segundo trabajo, el descenso de álgebra $\mathcal H _{\mathbb U}$ tiene una descripción natural, en términos de generadores que se definen a partir de las permutaciones con un descenso conjunto, así que tal vez esto califica como una simple combinatoria de definición. Por otro lado, la propiedad de sólo necesitábamos de las álgebras de los diagramas de Feynman era que ellos se calificará conectado conmutativa álgebras de Hopf, así que dudo que $\mathbb U$ puede ser descrito directamente como automorfismos de esas cosas...