Podría haber una especial función de contraejemplo a Schanuel de la conjetura?

Question

No es demasiado difícil mostrar que si Schanuel la conjetura es verdadera, entonces la única algebraica de los números de admitir una "forma cerrada de la expresión" (como se define precisamente en este papel) la participación de $e$, $\pi$, y otros exponencial logarítmica constantes son los que tienen solución en los radicales.

Mientras que la lectura de Ken Ono libro entretenido Mi Búsqueda de Ramanujan recientemente, me llamó la atención el hecho de que algunos de Ramanujan milagrosa de descubrimientos rendimiento aparentemente "trascendental expresiones" para los números algebraicos. Esto lleva a mi pregunta: Podría aprovechar una vulnerabilidad especial de la función de la teoría a la construcción de un explícito de forma cerrada, la expresión de un número algebraico que no es solucionable en radicales?

Espero que la respuesta sea que no, ya que espero Schanuel de la conjetura para ser verdad. Aun así, si ese es el caso, me pregunto si hay alguna manera de probar una precisa teorema a lo largo de estas líneas, que todas las expresiones cerradas construido en cierto modo debe ser soluble en radicales si son algebraicas. Por desgracia, no estoy lo suficientemente familiarizado con la función especial de la teoría incluso para decir si esta pregunta tiene sentido, pero tenía la esperanza de que algunos MO lector podría ser capaz de ayudar.

EDIT: Como ejemplo, he aquí una de Ramanujan resultados, reproducido de Douglas Hofstadter del libro Gödel, Escher, Bach:

$${e^{-2\pi/\sqrt 5}\over\displaystyle \puntal 1+{e^{-2\pi\sqrt 5}\over \displaystyle \puntal 1+{e^{-4\pi\sqrt 5}\over \displaystyle \puntal 1+{e^{-6\pi\sqrt 5}\over \displaystyle \puntal {\ \encima de 1+\cdots}}}}} = {{\sqrt 5 \sobre \displaystyle \puntal 1+\root 5 \de {5^{3/4} \biggl({\sqrt 5 - 1 \over 2} \biggr)^{\! 5/2}\!\! -1}} -{\sqrt 5 + 1 \over 2}}$$ Esto no contesta a mi pregunta directamente, porque la expresión de la izquierda es un infinito continuó fracción, que no es una forma cerrada de expresión en mi sentido, pero sí que me pregunto si no podría ser una identidad de este tipo donde el "$\dots$" en el lado izquierdo puede ser reemplazada por una nueva expresión.

Answer 1

Sí, algunos casos especiales de la función hipergeométrica dar las raíces de ecuaciones polinómicas cuya Galois grupos no son resolubles. El más simple de los ejemplos son las soluciones de $y(1-y)^t = x$ racional,$t$. Aquí es una elemental prueba de esta fórmula (que también puede ser obtenido por Lagrange inversión); aquí es más simple que requiere que usted ya han comprobado la fórmula de alguna otra manera (por ejemplo, experimentalmente).

Answer 2

Explícito expresiones cerradas para el implícita algebraica de los números se dan en Umemura, H.: la Resolución de ecuaciones algebraicas por theta constantes. En: Mumford, D. (Ed.): Tata Conferencias sobre Theta II, Birkhäuser, Boston/Basilea/Stuttgart 1984.

Mira también aquí: la Comprensión de Umemura del Teorema de las raíces de ecuaciones algebraicas

Jordan, C. se ha demostrado en 1870 que toda ecuación algebraica puede ser resuelto por medio de modular las funciones.

Ver Rey, R. B.: más Allá de la Ecuación de cuarto grado. Birkhäuser, Boston/Basilea/Berlín de 1996 para ambos enfoques.