¿Existe una interpretación estadística del teorema de Green, del teorema de Stokes o del teorema de la divergencia?

Question

Esto es una publicación cruzada de math.stackexchange y stats.stackexchange. Probablemente no haya una gran respuesta a esta pregunta, pero pensé en intentarlo aquí.

Este semestre estoy dando una clase de integración de funciones de varias variables y cálculo vectorial. La clase está compuesta en su mayoría por estudiantes de economía e ingeniería, con un poco de gente de matemáticas y física también. El semestre pasado impartí esta clase, y me di cuenta de que muchos de los estudiantes de economía estaban bastante aburridos durante la segunda mitad. Pude motivar las integrales múltiples haciendo algunos cálculos con variables aleatorias distribuidas conjuntamente, pero para la parte de análisis vectorial del curso la única motivación que se me ocurrió fue la basada en la física.

Así que me pregunto si alguien conoce una interpretación estadística/probabilística de alguno de los principales teoremas del cálculo vectorial. Esto podría requerir tener una interpretación de div, grad, y curl, y no es tan obvio lo que podría ser. ¿Alguien tiene alguna idea?

Answer 1

Me han dicho que un profesor de nuestro departamento lo dice así: Tu trabajo consiste en determinar el número de coches que hay en un aparcamiento. Un método consiste en recorrer el aparcamiento contándolos. O bien, si conoces el número en un momento dado, puedes situarte junto a la entrada/salida y ajustar el número cada vez que salga o llegue un coche.

Answer 2

Aunque lo siguiente todavía no es probabilístico, se puede probar.

considere una nación con una población de humanos. estos humanos se mueven y su movimiento en cualquier punto del tiempo describe un campo vectorial sobre la nación. algunos humanos nacen en algún punto y luego comienzan a moverse dependiendo de las líneas de flujo en ese punto... algunos humanos también perecen.

este campo vectorial puede ser operado de la forma habitual... es decir, examinado por grad y div, lo que proporcionará información sobre la inmigración y la emigración netas.

la fuente de dinero es el sistema bancario que genera crédito e inyecta dinero en el mercado. el gobierno también crea dinero mediante préstamos. el dinero se destruye cuando se devuelve el crédito.

Answer 3

Esto no responde del todo a la pregunta, pero el cálculo multivariable es topología diferencial para bebés y hay algunos teoremas topológicos que los economistas citan con frecuencia.

El más común es probablemente el teorema del punto fijo de Brouwer, que se requiere para la existencia de los equilibrios de Nash de una clase bastante amplia de juegos. La teoría de juegos es el ingrediente principal de la microeconomía. (En realidad, el teorema general relevante es el teorema del punto fijo de Kakutani para correspondencias de valores compactos y convexos, pero eso es una exageración para la mayoría de los economistas).

Además, el teorema de la bola peluda tiene una interpretación económica. En un mercado, para cada precio correspondiente hay una demanda excesiva. Si hay $n$ bienes, entonces el precio y la demanda son vectores en $\mathbb{R}^n$ . Cuando la demanda excesiva es cero, la economía dice que el mercado se despeja y está en equilibrio. Por lo tanto, el teorema de Hair Ball dice que el mercado se despeja para algún precio.

Si cubres los multiplicadores de Lagrange, los estudiantes de economía que cursan microeconomía y macroeconomía intermedias lo ven todos los días. El multiplicador de Lagrange en economía es el "valor sombra del dinero", lo que significa que si la restricción presupuestaria se relaja en $\epsilon$ en el paquete óptimo (en la dirección del gradiente), la utilidad del consumidor aumenta en $\epsilon \cdot \lambda$ . La ecuación

$$\nabla u = \lambda \cdot \nabla g$$

describe al consumidor sustituyendo entre los bienes de su cesta al comparar las utilidades marginales (entradas en $\nabla u$ ) y el coste marginal (entradas en $\nabla g$ ).

En cuanto al procedimiento de estimación del gradiente y la máxima verosimilitud, a un nivel muy básico es sólo un cálculo. Supongamos que se tienen observaciones $\{ x_i \}$ extraídos independientemente del espacio de probabilidad $(\mathbb{R}, f(x, \theta)dx)$ , donde $\theta$ se encuentra en un espacio de parámetros compacto $\subset \mathbb{R}^n$ . Para estimar $\theta$ se maximiza la función de probabilidad

$$ L(\theta) = \Pi_i f(x_i, \theta). $$

El gradiente de $\log L$ se llama la función de puntuación. En un nivel más profundo, aunque estoy seguro de lo mucho que puede mencionar a sus estudiantes de grado, MLE es el punto de partida de la geometría de la información, donde la estadística y la geometría diferencial interactúan.

Answer 4

El gradiente y la div aparecen en los modelos de máxima verosimilitud en estadística y en mecánica estadística que se utilizan en matemáticas financieras.