Si la falacia del jugador es falsa, ¿cómo funcionan las nociones de "número esperado" de eventos?

Question

Imagina que hay una ruleta de feria que puede caer en cualquier número $1$ a través de $100$ . Entiendo que la probabilidad de que cualquier número aparezca en la siguiente tirada es $\frac{1}{100}$ y si haces girar la ruleta $100$ veces entonces el número esperado de $5$ por ejemplo, es $1$ .

Sin embargo, tengo las siguientes preguntas:

1. Si la ruleta no aterriza en $5$ en el primer giro, entonces esto no hace que la posibilidad de obtener un $5$ en la segunda vuelta sea más o menos probable (suponer lo contrario implicaría la falacia del jugador). Esto significa que ahora debemos hacer girar la ruleta un total de $101$ veces para esperar exactamente una $5$ . ¿No provoca esto una especie de regresión infinita? Si nunca esperamos un $5$ en cualquier giro, y ningún $5$ han surgido hasta ahora en la primera $n$ gira, entonces no tomará $n+100$ giros para esperar un 5? Sé que en algún momento si examinamos un grupo de giros entonces podemos esperar algo con baja probabilidad como girar un $5$ que ocurra, pero me parece extraño y contraintuitivo que aunque esperemos una $5$ en un grupo suficientemente grande de giros, en cada giro individual no esperamos un $5$ . Además, no esperamos que ningún número salga en la primera tirada (en el sentido de que la probabilidad de que aparezca algún número en particular es baja) y, sin embargo, sabemos con certeza que algún número saldrá.
2. Para que haya un mayor de $50\%$ posibilidad de girar un $5$ Debemos hacer girar la ruleta $69$ veces según el siguiente cálculo: $$P(\text{Not rolling a 5 in } n \text{ spins})=\left(\frac{99}{100}\right)^n \\ \left(\frac{99}{100}\right)^n < 0.5 \\ \log_{0.99}0.5=68.967... $$ Por lo tanto, debe ser hilado $69$ veces para que haya un mayor de $50\%$ posibilidad de que haya una $5$ . ¿Por qué esto no es $50$ gira, como esperamos $0.5$ $5$ ¿se ha de producir en este periodo? Además, tengo la misma pregunta que una vez $5$ no sale, no hay que darle vueltas $70$ veces para que haya un mayor $50\%$ probabilidad, ¿y no puede esto causar la misma regresión infinita descrita anteriormente?

Answer 1

Pero nosotros hacer esperar un 5 en cualquier giro. O, al menos, esperamos $1\%$ de un 5 (si es que eso tiene sentido).

Sin embargo, en cualquier giro la probabilidad de obtener un 5 es baja. Sin embargo, eso se ve compensado exactamente por lo mucho que se reduce la espera hasta el siguiente 5 si se obtiene un 5 a continuación.

En $99\%$ de los casos, obtendrá un no-5 en la primera tirada, y en esos casos se espera que gire un total de 101 veces antes de ver su primer 5 (incluyendo la primera tirada fallada que acaba de fallar). Sin embargo, en $1\%$ de los casos, usted gira un 5, y en esos casos se espera que gire 1 vez antes de obtener su primer 5. Esto se cancela para dar un total de 100 giros esperados.

En cuanto a la pregunta 2, es porque puedes tener dos o más Aparecen los 5. La posibilidad de que aparezcan dos o más 5's en las primeras 50 tiradas, pero aún así un número esperado de 0,5 5's significa que la probabilidad de que aparezca algún 5 debe ser menor que $0.5$ : $$ 0.5=\text{Expected number of 5's}=1\cdot P(\text{one 5})+2\cdot P(\text{two 5's})+\cdots\\ \implies P(\text{at least one 5})=P(\text{one 5})+P(\text{two 5's})+\cdots<0.5 $$

Answer 2

Cabe destacar que, al girar la ruleta, tienes más información que antes, lo que cambia sus expectativas. Un ejemplo más sencillo, sin expectativas, sería que si se lanza una moneda justa dos veces, hay un $1/4$ probabilidad de que ambas tiradas sean cara. Sin embargo, podemos pensar en lo que ocurre después de la primera tirada:

Si nuestro primer lanzamiento sale cara, entonces ahora hay un $1/2$ probabilidad de que ambas vueltas sean. Si no, hay una $0$ posibilidad de eso. Antes de la primera vuelta, sabemos que hay una $1/2$ probabilidad de aterrizar en cualquiera de estos dos casos, por lo que la probabilidad total es $1/2\cdot 1/2 + 1/2\cdot 0=1/4$ .

Algo similar ocurre con su ejemplo: supongamos que dejamos que $X$ sea el número de veces que $5$ aparece en $100$ giros de la ruleta. La mayoría de las veces $99/100$ veces para ser precisos, el primer giro no es $5$ y, dado esto, ahora sólo tenemos $99$ giros a la izquierda, así que espera $X$ para ser $99/100$ . Por otro lado, sin embargo, si $5$ se produce, ahora esperamos que $X$ para ser $1+99/100$ - y el promedio de estos dos casos con sus probabilidades muestra efectivamente que esperamos $X$ para ser $1$ en general.

Básicamente, ves que si no consigues un $5$ en la primera ronda, entonces sus probabilidades de ver un $5$ se han desplazado hacia abajo - pero esto está perfectamente equilibrado por el caso menos probable de que hacer ver un $5$ . Esto es lo mismo que en su segundo ejemplo con probabilidades - sí, tan pronto como vemos que no conseguimos un $5$ seguimos pensando que necesitamos el mismo número de giros adicionales, pero si obtenemos un $5$ Sólo utilizamos $1$ giro que es camino por debajo de lo que pensábamos que íbamos a necesitar y equilibra las cosas.

Cabe destacar que expectativa es un término matemático preciso que puede no ajustarse perfectamente a lo que se quiere significar intuitivamente. No dice nada sobre el suceso más probable; por ejemplo, si se lanza una moneda justa, el número esperado de caras es $1/2$ pero ni siquiera es un resultado posible. La expectativa sólo dice "mira este valor en todas las formas posibles en que las cosas podrían desarrollarse. Haz la media, ponderada según la probabilidad".

Esto también nos dice por qué las probabilidades no son las expectativas: si hacemos $50$ ensayos, el número esperado de $5$ de ser $1/2$ podría significar igualmente "Hay un $99/100$ posibilidad de que no hubiera $5$ 's, pero hay un $1/100$ posibilidad de que hubiera $200$ casos de $5$ " o "Hay un $1/2$ posibilidad de que no hubiera $5$ y un $1/2$ posibilidad de que hubiera un cinco" - con la verdad en este caso situada entre esos dos casos un tanto absurdos. Básicamente, los casos en los que hay muchas $5$ se cuentan de forma desproporcionada, cuando la probabilidad los contaría igualmente al caso en el que hay un solo $5$ .

En cuanto a la paradoja de que ningún número es probable, pero siempre existe algún número, es lo mismo que ocurre con la probabilidad: aquí hay dos variantes de un juego al que se puede jugar:

Adivina un número. Gira la rueda. Ganas si son iguales.

En este juego, sólo ganarás con probabilidad $1/100$ porque no tienes información. La baja probabilidad mide este juego. Un juego relacionado es el siguiente:

Gira la rueda. Adivina un número. Ganas si son iguales.

En este juego siempre se puede ganar porque se acaba de leer el número que se ha girado. La probabilidad relevante aquí es más bien "¿Cuál es la probabilidad de que hayas sacado un $5$ Dado que usted ha hecho girar un $5$ " - que es $1$ . Sólo hay que tener cuidado con lo que ya se sabe si se trata de probabilidades; de lo contrario, empiezan a aparecer resultados aparentemente paradójicos.

Answer 3

Antes del primer giro, el número esperado de ocurrencias de $5$ en la primera $100$ giros es $1$ .

Supongamos que el primer giro arroja un valor no igual a $5$ .

Si somos dado esa información, entonces:

• El número esperado de ocurrencias de $5$ en la primera $100$ giros (giros $1$ a través de $100$ ) es ahora menos que $1$ (más exactamente, es igual a ${\large{\frac{99}{100}}}$ ). $\\[4pt]$
• Sin embargo, el número esperado de ocurrencias de $5$ en el siguiente $100$ giros (giros $2$ a través de $101$ ) es igual a $1$ .

La información adicional puede cambiar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria, por lo que puede cambiar su expectativa.

En cuanto a la segunda pregunta

Supongamos giros independientes, cada uno de los cuales produce un elemento aleatorio de $\{1,...,n\}$ con todos los valores igualmente probables.

Dejemos que $X$ sea el número de giros hasta la aparición de un valor determinado, digamos $1$ .

Para cada número entero positivo $k$ , dejemos que $x_k=P(X=k)$ .

Dejar $p={\large{\frac{1}{n}}}$ obtenemos $$ x_k=(1-p)^{k-1}p \qquad\;\;\;\;\; $$ y la media de $X$ viene dada por \begin{align*} E(X)& =1x_1+2x_2+ 3x_3+\cdots\\[1pt] &=\sum_{k=1}^\infty kx_k\\[1pt] &=\sum_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}p\\[1pt] &=p\sum_{k=1}^\infty k(1-p)^{k-1}\\[1pt] &=p{\,\cdot\,}\frac{1}{p^2}\\[1pt] &=\frac{1}{p}\\[3pt] &=n\\[1pt] \end{align*} Si la distribución de $X$ fuera simétrica, la mediana sería igual a la media (pero no medio de la media).

Sin embargo, la distribución de $X$ no es simétrica, por lo que no podemos inferir la mediana de $X$ sólo por saber que la media de $X$ es $n$ .

Para el caso $n=100$ ,

la media de $X$ es $100$ mientras que la mediana de $X$ es $69$ que es menor que la media.

Pero en cualquier caso, no hay una buena razón para esperar que la mediana de $X$ sea exactamente la mitad de la media.

Answer 4

Supongamos que la duración esperada hasta obtener un $5$ es $x$ . En el caso de que no consigamos un $5$ en la primera vuelta, la duración esperada de ese ensayo sí aumenta a $x+1$ . Sin embargo, ese evento sólo tiene un $\frac{99}{100}$ posibilidad de que ocurra. El caso de que tengamos una $5$ en el primer giro tiene un $\frac1{100}$ posibilidad de que ocurra. Por lo tanto, la duración prevista es $$ \frac1{100}\cdot1+\frac{99}{100}\,(x+1)=x $$ que tiene la solución $x=100$ .

Answer 5

Las respuestas de la gente se centraron en el cálculo de probabilidades, pero lo que me molesta al leer tu pregunta es más bien semántico: ¿qué quiere decir exactamente "si haces girar la ruleta 100 veces entonces el esperado número de 5 es 1". Lo que realmente quieres decir con "esperado" puede ser la raíz del "problema", el número esperado de 5's es en promedio 1. No sólo 1. Podría ser 0, podría ser 10. Parece que se puede obtener la matemática para poder calcular la probabilidad de cada uno de estos eventos.

La invariante aquí es: independientemente de lo que haya ocurrido antes, para las siguientes 100 tiradas, el número esperado de 5's sigue siendo en promedio 1.