Confundido acerca independiente de las probabilidades. Si una moneda se lanza 5 veces, P(HHHHH) = 0.03125, pero P(H | HHHH) = 0.5

Question

Estoy confundido acerca de cómo conciliar la probabilidad de eventos independientes no tener nada que ver con la historia previa, pero las secuencias de eventos (aparentemente) tomar en cuenta la historia previa. Esta pregunta es una pregunta similar: Probabilidad de eventos independientes dada la historia. Sin embargo, después de haber leído esto, encontré tenía una confusión acerca de la aparente contradicción entre dos fórmulas para las probabilidades que parecen iguales a mí, pero se producirán diferentes resultados basados en nuestra comprensión de la P de secuencias frente a P de eventos independientes:

(A) P(HHHHH) = 0.03125

(B) P(H | HHHH) = 0.5

¿Alguien puede explicar cómo la izquierda de las dos ecuaciones, P(HHHHH) y P(H | HHHH) son diferentes.

Y ¿hay algo que cambiar si queremos pasar de una frecuentista bayesiana perspectiva?

Answer 1

P(HHHHH) es la probabilidad de tener cinco cabezas en una fila. Pero, P(H|HHHH) significa tener cabezas, si los últimos cuatro tiros de la cabeza. En el primer caso, estamos en el inicio del experimento y en la última ya ha completado cuatro tiros y conocer los resultados. Piense en las siguientes rewordings:

P(HHHHH): Si usted fuera a comenzar el experimento todo de nuevo, ¿cuál sería la probabilidad de tener cinco cabezas?

P(H|HHHH): Si usted fuera a comenzar el experimento, pero mantener a reiniciar hasta que consiguió cuatro cabezas en una fila, y luego, dado que tiene cuatro cabezas, ¿cuál sería la probabilidad de tener el final de uno de los jefes?

Answer 2

P(HHHHH)

Hay 32 posibles resultados de lanzar una moneda al aire 5 veces. Aquí se enumeran:

HHHHH THHHH HTHHH TTHHH HHTHH THTHH HTTHH TTTHH
HHHTH THHTH HTHTH TTHTH HHTTH THTTH HTTTH TTTTH
HHHHT THHHT HTHHT TTHHT HHTHT THTHT HTTHT TTTHT
HHHTT THHTT HTHTT TTHTT HHTTT THTTT HTTTT TTTTT

Todos estos resultados son igualmente probables. Por lo que la probabilidad de cualquiera de estas secuencias es 1/32 = .03125. Es por eso que P(HHHHH) = .03125.

P(H | HHHH)

Ahora estamos considerando los posibles resultados de un solo tirón de la moneda, habiendo observado 4 cabezas en una fila. Las únicas dos posibles resultados de este único tirón de la moneda, que por supuesto son los siguientes:

H
T

Desde la moneda gira se supone independiente, el hecho de que los observamos 4 cabezas en una fila es irrelevante, así que esto es sólo el mismo como teniendo en cuenta que P(H), la probabilidad de que los jefes de una sola tirada, independientemente de lo que se acaba de observar. Es por eso que P(H | HHHH) = 0.5.

Answer 3

A menudo es útil para cosa de condiciones en términos de información:

$$ \mathbb{P}[H | HHHH] $$

se puede leer como "La probabilidad de obtener cara, dado que tengo 4 cabezas ya", es decir, dada la información que ya hay 4 jefes.

Por supuesto, se nos dice que el lanzar una moneda son independientes, por lo que esta información no es útil -- los últimos lanzamientos no tienen nada que ver con los próximos lanzamientos, es decir, esta información no nos dice nada acerca de la probabilidad de que el próximo evento. Por lo tanto (ya que es una moneda no trucada), $ \mathbb{P}[H | HHHH] = .5$

Podemos pensar que la falta de una condición como la falta de información, por lo $ \mathbb{P}[H] $ es "la probabilidad de que los Jefes, con ninguna otra información", y

$$ \mathbb{P}[H | HHHH] = \mathbb{P}[H] $$

es una reafirmación de los anteriores-la probabilidad de obtener cara teniendo en cuenta la información que ya tenemos 4 cabezas es la misma que la probabilidad de obtener cara con ninguna otra información.

Por último podemos ver así

$$ \mathbb{P}[HHHHH] $$

Como "la probabilidad de que 5 de los jefes, con ninguna otra información". Esto significa que no sabemos el resultado de cualquier arroja todavía (ya que los resultados de la cuenta como de la información), y allí tenemos nuestro $\mathbb{P}[HHHHH] = \frac1{32}$ -- de todos los $2^5$ resultados posibles de 5 tiros (a partir de cuando aún no sabemos los resultados), sólo hay 1, donde todos los lanzamientos son H.

Answer 4

La notación que no índice de la moneda se produce y/o sus resultados (y aun no separar los resultados por comas o signos de intersección) puede ser confuso. ¿Cómo sabemos que la moneda lanzar cada una de las $H$ se refiere a en $P(H|HHHH)$ o $P(HHHHH)$? A menudo podemos adivinar, pero esto es innecesario ambigua.

Permítanos índice de la moneda lanza y sus resultados por números naturales. Dado que la moneda no tiene memoria, se espera que sea más claro por qué $$ P(H_1|H_1,H_2,H_3,H_4)=1, $$ pero $$ P(H_5|H_1,H_2,H_3,H_4)=0.5 $$ y $$ P(H_1,H_2,H_3,H_4,H_5)=0.03125. $$

Answer 5

Yo sugeriría usted para ejecutar una simulación, y la vista de la distribución condicional como aplicar el filtro sobre los datos.

Específicamente, usted puede

1. simulación de la gran cantidad de (digamos 5 millones) moneda para decidir sobre 5 monedas justas
2. trate de encontrar para los primeros 4 monedas, los resultados son HHHH
3. seleccionar un subconjunto de los datos de la primera por 4 monedas " los resultados son HHHH
4. verificar la distribución de las 5 de la moneda.

Usted puede encontrar que es cercano a 0.5.