Deje $S$ ser un conjunto de puntos en $\mathbb{R}^d$; estoy especialmente interesado en $d=2$. Decir que $S$ es un número entero-distancia definir si cada par de puntos en $S$ es separado por un entero distancia Euclidiana.
¿Cuáles son los ejemplos de la máxima entero distancia conjuntos? (Máximo: no hay punto se puede agregar conservando el entero de distancia de la propiedad entre todos los pares.)
Por supuesto, el entramado de puntos a lo largo de cualquier recta paralela a un eje de coordenadas en $\mathbb{R}^d$ constituyen un countably infinito entero-distancia establecida. ¿Qué es un ejemplo de un infinito número entero distancia conjunto de puntos no colineales?
Sé que Euler estableció que cada círculo contiene un denso racional-distancia establecida.
Escalado de cualquier círculo por un gran denominador común proporciona a los ricos, pero finito de enteros-distancia establecida. Por ejemplo, estos cinco puntos en un círculo que está separada por entero
distancias:
$$
(1221025, 0), (781456, 586092),
(439569, 586092),
(270400, 507000),
(180625, 433500)
$$
Estoy seguro de que esto es de todos conocido... Gracias por iluminar mí!
(Este es tangencialmente relacionado con mi pregunta anterior, "Puntos racionales en una esfera en $\mathbb{R}^d$.")
Update1.
Resulta que la determinación de la entero-distancia conjuntos es fundamentalmente abierta. Lo que se sabe es muy bien resumida por Robert Israel y "Daniel m3". En particular, a través de la Kreisel & Kurz papel, no se conoce (o era desconocido en 2008) si existe o no una de 8 puntos entero-distancia establecida en $\mathbb{R}^2$, sin tres de los puntos colineales y no cuatro cocircular.
Update2. Abierto también es un problema identificado por Nathan Dean: ¿Cuántos no cocircular entero-puntos de distancia se pueden encontrar en una parábola, una escala de $y = x^2$? Nathan demostrado que hay infinitamente muchos conjuntos de tres puntos; Garikai Campbell demostró hay infinitamente muchos conjuntos de cuatro puntos. Pero la existencia de cinco de estos puntos parece abierto. Acabo de enterarme de la parábola problema de este MSE pregunta.
Update3 (21 De Julio De 2013). Me encontré con esta recientemente publicado, en el que explora la en-algunos-sentido anverso de la pregunta que me preguntó: "¿Qué son el mayor punto de conjuntos en $\mathbb{R}^d$ que evitar los puntos de un integrante de distancia de distancia.
Kurz, Sascha, y Valery Mishkin. "Abrir Conjuntos De Evitar Integral Distancias." Discretos & Geometría Computacional (2013): 1-25. (Springer link)
Update4 (29 Noviembre 2014). Hay un buen artículo en Dick Lipton del blog en Ulam 70 años de la onu-resuelto la conjetura:
Si $S$ es un racional-distancia establecida, entonces no es denso en el plano.
Y que el artículo cita la Kurz-Mishkin papel por encima.
