La motivación detrás de la construcción de Deligne y Lusztig

Question

Si $G$ está conectado a un reductor de grupo sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ e $T$ es la máxima toro en $G$, la famosa construcción de Deligne y Lusztig (Anales de Matemáticas, 1976) asociados a las representaciones de $G(\mathbb{F}_q)$ a $1$-representaciones tridimensionales de $T(\mathbb{F}_q)$. Estas declaraciones vienen de la cohomology de la Deligne-Lusztig variedad asociados a $G$ e $T$, en el que se admite desplazamientos de las acciones de los grupos $G(\mathbb{F}_q)$ e $T(\mathbb{F}_q)$. De acuerdo con varios comentarios en la Deligne-Lusztig artículo, dos de sus fuentes de motivación fueron como sigue:

1) La conjetura de Macdonald que una construcción de este tipo debe de existir.

2) El ejemplo de la Drinfeld de la curva: si $G=SL_2$ e $T$ es el único (hasta conjugacy) no split máxima toro en $G$,, a continuación, $T(\mathbb{F}_q)$ puede ser identificado con el kernel de la norma homomorphism

$$\mathbb{F}_{q^2}^\times\to\mathbb{F}_q^\times$$

y $G(\mathbb{F}_q)$ e $T(\mathbb{F}_q)$ ambos actúan de forma natural en la curva de $X$ dado por la ecuación de $x^qy-xy^q=1$ en el plano afín sobre $\overline{\mathbb{F}}_q$. (El grupo $T(\mathbb{F}_q)$ hechos por dilataciones.) El (primer) $\ell$-ádico cohomology de $X$ da cuenta de todos los cuspidal irreductible representaciones de $SL_2(\mathbb{F}_q)$.

En su 1976 papel Deligne y Lusztig dar dos construcciones diferentes de (lo que más tarde llegó a ser conocido como) Deligne-Lusztig variedades (y demuestre que son equivalentes). El Drinfeld curva que resulta ser un caso especial. Sin embargo, me parece que el salto desde el ejemplo de la Drinfeld de la curva (y MacDonald conjetura) a cualquiera de las dos construcciones de Deligne-Lusztig es absolutamente gigante. Me preguntaba si alguien tiene alguna información adicional sobre cómo la construcción fue inventado.

Answer 1

Aquí es una metáfora que es probablemente conocida. (Me estoy repitiendo lo que Nick está diciendo con leve variación.)

Cuando uno considera las representaciones de $SL_2(\mathbb{R})$ hay dos fundamentales homogénea espacios: $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ y la mitad superior del plano -$\mathbb{H}$. Las secciones de la línea de paquetes ($L^2$ o holomorphic) en estos dos espacios se dan cuenta de todos los admisible representaciones de $SL_2(\mathbb{R})$.

Uno puede ver esto de forma ligeramente diferente: se considera fundamental espacio homogéneo para la complexified grupo es decir $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ y uno se descompone en sus puntos racionales $\mathbb{P}^1(\mathbb{R})$ y su complemento (la superior y la inferior de la hemi-esferas). Estos dos espacios son sólo (complejo conjugado) encarnaciones de $\mathbb{H}$.

Ahora hacemos lo mismo para $SL_2(\mathbb{F}_q)$: uno tiene la acción natural de la $SL_2(\mathbb{F_q})$ a $\mathbb{P}^1$ y se puede considerar que los puntos racionales $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)) = SL_2(\mathbb{F}_q)/B$ y el complemento de $X := \mathbb{P}^1 \setminus \{ 0, 1, \dots, p-1 \}$ (un afín curva algebraica). Persiguiendo la anterior analogía podríamos estar tentados a llamar a $X$ la "mitad superior del plano" en este contexto.

Si uno es optimista, a continuación, uno podría esperar que las secciones / cohomology de los sistemas locales en $X$ interesante darse cuenta de las representaciones de $SL_2(\mathbb{F}_q)$, que es de hecho el caso. En esta imagen de la Drinfeld curva surge como una $T(\mathbb{F}_q)$ (su notación) cubierta de $X$, lo que permite a una familia de muy interesante, los sistemas locales a través de la imagen directa. (Indexados por los personajes de $T(\mathbb{F}_q)$.)

En este punto de vista (sistemas locales en $X$, en lugar de isotypic componentes en el cohomology de una tapa) el Drinfeld curva pierde parte de su significado.

Tenga en cuenta que hay dos elementos del grupo de Weyl: 1 y $s$. Podemos ver $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$ e $X$ como pares de puntos en la posición relativa $1$ (es decir, igual) y $s$ (es decir, no es igual), respectivamente. Ahora es tal vez la más clara de cómo generalizar.

(A un lado de observación para ser tomado con un grano de sal: alguien me dijo una vez que Drinfeld tenido el caso real en la mente cuando la definición de Drinfeld espacio, que es el análogo de la p-ádico grupos. El campo finito caso fue un útil de pruebas de suelo).

Answer 2

No es fácil explicar la motivación sin ser uno de los autores, pero en realidad Lusztig ha proporcionado algunos perspectiva útil en la redacción de su documento conjunto con Deligne (1976) y su anterior artículo relacionado (1974) en Ann. de Matemáticas. Estudios de 81. En su página de inicio, en el MIT, usted puede encontrar un ambiente intimidante lista de todos sus papeles aquí, junto con comentarios detallados sobre algunos de ellos aquí. Véase, en particular, los números 17 y 22. Aunque sus comentarios son bastante cortos, que hacen de llevar a cabo la transición de las ideas anteriores de Macdonald y Springer a la construcción específica de Deligne-Lusztig variedades. Algunos de los contactos personales y las influencias son imposibles de rastrear, pero una motivación fundamental fue la construcción explícita de las representaciones de los grupos finitos de la Mentira que dan cuenta de la elusiva "cuspidal" o "discreto de la serie" personajes. En 1955 su papel en finitos lineal general de los grupos, el Verde era capaz de lidiar con los personajes de manera inductiva en una combinatoria espíritu, pero para otra Mentira de los tipos de la historia se vuelve más complicado y requiere un método más sofisticado.

Hubo, por supuesto, algunas de las críticas de los dos artículos que he mencionado, junto con una buena técnica de la encuesta por Serre en la 1975-76 seminario Bourbaki. Pero es difícil de extraer de la literatura como una gran cantidad de información que se puede obtener a partir de Lusztig propios comentarios. En particular, creo que deja claro que no hubo un solo momento de iluminación basado en el rango de 1 caso, sino más bien una conjunción de una serie de formas de pensamiento que ya había sido influyente en la geometría algebraica y la teoría de la representación (ilustrado por Springer del trabajo en las representaciones de grupos de Weyl en la década de 1970). Lusztig mismo comenzó en topología algebraica, pero su colaboración con Roger Carter en Warwick le apuntó a algunos de los problemas de la representación de la teoría algebraica de los grupos y de los grupos finitos de tipo de Mentira. Habiendo dicho todo esto, debe agregarse que toma algo más brillante que la gente se acerque con el enfoque correcto de un terco problema en teoría de grupos finitos.