La suma de dos elementos nilpotentes de un anillo conmutativo es nilpotente. Esto se puede comprobar mediante un cálculo directo utilizando el teorema del binomio. De hecho, este cálculo muestra la afirmación más fuerte $x^n=y^m=0 \Rightarrow (x+y)^{n+m-1}=0$ .
Pero también podemos dar una prueba más sofisticada: Si $x,y$ son nilpotentes, están contenidos en todos los ideales primarios. Por lo tanto, lo mismo es cierto para $x+y$ . Por lo tanto, $x+y$ es nilpotente: de lo contrario, la localización en $x+y$ sería no cero y por lo tanto tendría un ideal primario, pero esto corresponde a un ideal primario en el anillo dado que no contiene $x+y$ . (En resumen: El conjunto de elementos nilpotentes es la intersección de todos los ideales primarios, por lo tanto cerrado bajo la adición.)
La existencia general de los ideales primarios es equivalente al Teorema del Ideal de la Prima Booleana y por lo tanto la prueba anterior no es constructiva. La prueba no muestra nada sobre el exponente de nilpotencia de la suma. Por otra parte, es bastante elegante y es realmente una obviedad si estás acostumbrado al álgebra conmutativa. Además, se puede hacer "más constructivo" (no realmente constructivo, como señala Matt F.), o al menos demostrable en $ \mathsf {ZF}$ de la siguiente manera:
Restringimos nuestra atención a la subcategoría generada por $x,y$ . Este anillo es contable. Lo mismo ocurre con la localización en $x+y$ . Hay una prueba constructiva de que cada anillo conmutativo contable no trivial tiene un ideal máximo, por lo tanto tiene un ideal primordial. Y ahora podemos proceder como antes.
Así que tenemos dos pruebas constructivas: a) el cálculo directo usando el teorema del binomio, b) la prueba usando los ideales primarios. El pregunta es: Supongamos que conocemos la prueba (b), ¿hay un método general para producir la prueba (a) a partir de ella? ¿Quizás incluso incluyendo la declaración más fuerte sobre el exponente de nilpotencia? Este es sólo un ejemplo de juguete para la pregunta general de cómo deshacerse de los ideales primarios en pruebas en álgebra conmutativa donde esperaríamos tener, o ya sabemos, pruebas más directas. Sólo he escogido este ejemplo de juguete porque espero que el método general pueda ser fácilmente explicado con él.
Otro ejemplo de juguete: Cómo producir el prueba directa de $I+J=A \Rightarrow I^n+J^n=A$ para los ideales $I,J \subseteq A$ de la prueba usando los ideales principales ? Un ejemplo más sofisticado se puede encontrar aquí donde no tengo ni idea de cómo es un cálculo directo (quizás lo pregunte en una pregunta aparte).
Sé que Thierry Coquand y Henri Lombardi han trabajado en cuestiones relacionadas, pero después de hojear su trabajo no pude encontrar una respuesta a mi pregunta.
