Hipergeométrica rompecabezas

Question

$$ 143\,\sqrt {3}\;{\mbox{$_2$F$_1$}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\,1;\,{\frac {3087}{8000}}\right)}= 40\,\sqrt {5}\; {\mbox{$_2$F$_1$}\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\,1;\,{\frac {2923235}{2924207}}\right)} $$ Mientras se trabaja en otro problema, he encontrado dos maneras diferentes de expresar mi solución. La conexión de un valor, obtener la ecuación de arriba.

Hay métodos/referencias para probar la existencia de algo como esto?

Arce no les conoce, parece.

agregó

Más en general, me han $$ \frac{\displaystyle 3\,\sqrt {2}\; {\mbox{$_2$F$_1$}\Bigg(\frac{1}{2},\frac{1}{2};\,1;\,{\frac { 64\left( 1-y \right) ^{3}}{ \left( -{y}^{3/2}\sqrt {y+8}-8\,\sqrt {y}\sqrt {y+8}+{y}^{2}-20\,y-8 \right) ^{2}}}}\Bigg)} {{\sqrt {-3\,{y}^{2}+60\,y+24+3\,{y}^{3/2}\sqrt {y+8}+24\, \sqrt {y}\sqrt {y+8}}}} = \frac{\displaystyle {\mbox{$_2$F$_1$}\bigg(\frac{1}{3},\frac{2}{3};\,1;\,{\frac { \left( y+8 \right) ^{2} \left( 1-y \right) }{ \left( 4-y \right) ^{3}}}\bigg)}} {( 4 - y)} $$ para $0 < y < 4$ ... y para el problema anterior me encontré con un valor de $y$, de modo que tanto $y$ e $y+8$ eran cuadrados perfectos.

Pero yo estaba esperando que alguien sabía métodos para hacerlo, aparte de la vuelta acerca de la forma en que me vino a él.

Answer 1

Estas fórmulas se originan a partir de modular el proceso de parametrización de la base de funciones hipergeométricas y hay muchas de estas apariciones en la literatura (una colección de referencias se puede encontrar en http://arxiv.org/abs/1302.0548 donde tales transformaciones algebraicas se utilizan en relación con el contexto). Pero la más clásica fuente de Goursat del tratamiento de tales transformaciones en su tesis: http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1881_2_10__S3_0.

Answer 2

El OP general de la identidad es sólo la mitad equivalente a la de la página 258 de Ramanujan del segundo cuaderno. (También Teorema 5.6 de Berndt del Ramanujan Cuadernos Vol. 5, pág.112.) Se necesita un segundo uno, a saber, el Teorema 6.1 en la página.116 para completar las piezas del rompecabezas.

I. La Pieza 1: Teorema 5.6 Si

$$u_1 = \frac{p^3(2+p)}{1+2p},\quad\quad v_1 = \frac{27p^2(1+p)^2}{4(1+p+p^2)^3}$$ a continuación, para $0\leq p <1$, $$(1+p+p^2)\,_2F_1\big(\tfrac12,\tfrac12;1;u_1\big)=\sqrt{1+2p}\;_2F_1\big(\tfrac13,\tfrac23;1;v_1\big)\tag1$$

II. Pieza 2: Teorema 6.1 Si

$$u_2 = \frac{q(3+q)^2}{2(1+q)^3},\quad\quad v_2 = \frac{q^2(3+q)}{4}$$ a continuación, para $0\leq q <1$, $$\,_2F_1\big(\tfrac13,\tfrac23;1;u_2\big)=(1+q)\;_2F_1\big(\tfrac13,\tfrac23;1;v_2\big)\tag2$$

III. Pieza 3: $v_1=v_2$

Resulta que el OP fue el caso especial $v_1=v_2$, por lo tanto,

$$\frac{27p^2(1+p)^2}{4(1+p+p^2)^3} = \frac{q^2(3+q)}{4}$$

Mientras que un cúbicos en $q$, convenientemente los factores de forma lineal. La elección de la correcta factor que $0\leq p,q <1$, podemos expresar estéticamente la OP general de identidad,

$$\large \tfrac{(1+p+p^2)(1+q)}{\sqrt{1+2p}}\,_2F_1\Big(\tfrac12,\tfrac12;1;\tfrac{p^3(2+p)}{1+2p}\Big)=\;_2F_1\Big(\tfrac13,\tfrac23;1;\tfrac{q(3+q)^2}{2(1+q)^3}\Big)\tag{3a}$$

donde,

$$q = \frac{3p}{1+p+p^2}\tag{3b}$$

Por ejemplo, el OP $y=\tfrac1{36}$. Pero el uso de $p=\tfrac7{10}$ a $(3)$, podemos recuperar el original de la igualdad,

$$\tfrac{143\sqrt3}{40\sqrt5}\;{\mbox{$_2$F$_1$}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2};\,1;\,{\tfrac {3087}{8000}}\right)}={\mbox{$_2$F$_1$}\left(\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{3};\,1;\,{\tfrac {2923235}{2924207}}\right)}$$

y el rompecabezas resuelto.

Answer 3

Esto debe estar relacionado con Ramanujan la teoría de la cúbico funciones elípticas. Presumiblemente, su identidad es equivalente a uno que ocurren en la página 258 de Ramanujan del segundo cuaderno, ver Thm. 5.6 en Berndt, Bhargava y Garvan, Ramanujan la teoría de funciones elípticas a la alternativa de bases, Trans. Amer. De matemáticas. Soc. 347 (1995), 4163-4244. Usted puede descargar un pdf a partir de Frank Garvan de la página de inicio.