La pregunta puede ser escrita de la siguiente manera: Dados dos números enteros positivos $a$ e $b$, ¿ existen números primos $p$ e $q$ tal que
$$aq-bp=b-a?$$
Usted esperaría que hay que ser no sólo uno de estos pares de números primos, pero infinitamente muchos pares. Por ejemplo, si $a=2$ e $b=1$,, a continuación, $q$ es un Sophie Germain prime, y todo el mundo espera que hay infinitamente muchos de esos. Por otra parte, usted debería ser capaz de reemplazar el lado derecho de la ecuación con una constante de $c$, es decir,
$$aq-bp=c.$$
El gemelo primer conjetura dice que hay infinitamente muchas soluciones al $a=b=1$ e $c=2$. Polignac la conjetura implica una infinidad de soluciones al$a=b=1$, y para cada valor de $c$. En general, usted debe esperar infinitamente muchas soluciones cuando no hay algún obvio congruencia que las fuerzas de la finitud; por ejemplo, obviamente, $a=b=c=1$ sólo tiene una solución. Por otra parte, es natural esperar un determinado lentamente la disminución de la densidad de las soluciones mediante una heurística presupuesto derivado del teorema de los números primos.
Esta pregunta a todos los $a$, $b$, y $c$ es a su vez un caso especial de aún más preguntas generales acerca de los patrones lineales en los números primos. Por ejemplo, la afirmación de que hay infinitamente muchas progresiones aritméticas de longitud 3 en el de los números primos es la declaración de que hay infinitamente muchas soluciones para
$$p-q = q - r > 0.$$
Ahora, es un famoso teorema de Tao y Verde que hay infinitamente muchas progresiones aritméticas de números primos de longitud arbitraria. Más tarde Tao y Verde hizo un estudio más sistemático que establece la existencia de todo tipo de patrones lineales en los números primos. Sin embargo, la Sieprinski-Schnizel conjetura, y su generalización en el párrafo anterior, son parte de la "categoría 1 caso" que no se resolver. (Estos son sólo mis notas mentales de una encuesta a hablar por Terry Tao que una vez asistí.) Si se podría haber hecho el rango de 1 caso, se han incluido las gemelas primer conjetura y creo que habría implicado la asintótica conjetura de Goldbach demasiado, por lo que habría sido aún más sorprendente que lo que lograron alcanzar.
No tengo idea de si este restantes rango 1 caso es la misma clase de pregunta como el Tao-Verde resultados, pero sólo más difícil; o si es mucho más difícil de lo que es en una clase diferente. Vamos con optimismo decir que es la primera. Si es así, entonces lo que hace el Schinzel-Sierpinski conjetura interesante es que siempre se debe esperar infinitamente muchas soluciones en números primos de ecuaciones lineales, a menos que sólo hay un número finito de soluciones debido a un simple congruencia. Y he de decir que el Tao-Verde los resultados son los principales avances recientes, incluso a pesar de que respondió a diferentes preguntas.
