Euclides / Hilbert: "dos líneas paralelas a una tercera son paralelas entre sí".

Question

De fondo

Muchos geometría de los libros utilizados para enseñar a los estudiantes de secundaria en estos días a la transferencia de Hilbert reelaboración de Euclides los axiomas de a una (un poco) de apetecibles para los estudiantes. En general no parecen entrar en tanto detalle, decir, acerca de intermediación, pero incluyen un SAS "Postulado" en lugar de un SAS "Teorema."

En particular, este libro de Jurgensen, Marrón, y Jurgensen tiene las siguientes once postulados en sus tres primeros capítulos (que podría haber un poco de off):

1. Regla
2. Además del segmento
3. Transportador

4. De la suma de ángulos

5. Una línea que contiene dos puntos de un plano que contiene tres puntos no colineales; el espacio contiene cuatro puntos no coplanares

6. Dos puntos definen una línea
7. Dados tres puntos, existe un plano que los contiene; tres puntos no colineales determinan un plano
8. Si el plano contiene a dos puntos, a continuación, contiene la línea que los conecta

9. Si dos planos que se cortan, su intersección es una recta

10. Si una transversal que cruza las líneas paralelas, entonces los ángulos correspondientes son iguales

11. Si una transversal cruza de dos líneas y ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas

y agrega el siguiente teorema sin la prueba:

3-11. Si dos líneas son paralelas a una tercera línea, entonces las líneas son paralelas.

La Pregunta

En mis sesiones de tutorías con la geometría de los estudiantes, siempre utilizamos este libro porque creo que es bastante buena. Pero cuando llegamos a este punto, vamos, "Bueno, estamos bastante competente en la geometría; vamos a tratar de demostrarlo". Y siempre nos brisa a través de la el caso de que las líneas están en un plano de conjunto, y seca en el caso general.

Buscando en Euclid XI de esta noche, veo que este es el noveno de la proposición. Su prueba utiliza la sexta:

"Si líneas perpendiculares a un mismo plano, entonces las rectas son paralelas."

Esto, a su vez, utiliza I. 4 (SAS) y I. 8 (SSS), que en Jurgensen/Marrón/Jurgensen se postula en el siguiente capítulo.

Así es 3.11 demostrable a partir de los once postulados? O son los autores sólo descuidado - ¿hay un modelo de los postulados de la 1 a la 11 en el cual existen dos líneas coplanares paralelas a una tercera línea?

Editar:

Algunas definiciones para este contexto.

Dos líneas son paralelas si son coplanares y nonintersecting.

Una transversal es una línea en un plano de intersección de otras dos líneas en ese plano en diferentes puntos.

Una recta y un plano son perpendiculares si la recta es perpendicular a todas las rectas en el plano a través del punto de intersección.

Tampoco estoy seguro de si la siguiente (a partir del Capítulo 4) puede ser probado sin ningún triángulo postulados: "Si una recta es perpendicular a dos rectas en un plano, entonces es perpendicular a todas las líneas en que plano a través del punto de intersección."

Answer 1

El once postulados son suficientes para demostrar 3.11.

Lema 1 una recta y Un punto no en ella, dos líneas diferentes en un avión, o en paralelo dos líneas definen un plano.

Dos puntos de una recta y un punto no es definir un plano #7. Si dos líneas son diferentes, hay un punto en el segundo, que no en la primera (#6), por lo que la primera parte se definen un plano. Por definición, dos rectas paralelas son las diferentes líneas en un plano de manera que se defina por la segunda parte.

Lema 2 Si $a,b,t$ son de diferentes líneas coplanarias y $a$ es paralelo a $b$ $t$ no es paralelo a $a$ $t$ es una transversal de $a$$b$.

Por definición, $t$ intersecta $a$, por lo que llame el punto de intersección $A$ definición de un ángulo de $\angle at\ne 0$ (#3). Deje $S$ ser un punto en $b$ $SA$ define una línea de $s$ (#6), que es una transversal de $a$ $b$ (por definición). A continuación, $s$ corta los ángulos $\angle sb=\angle sa$ (#10) y $\angle st\ne \angle sa$ (#4, ya que son coincidentes), por lo $t$ no es paralelo a $b$ $\angle st\ne \angle sb$ y #10, y es una transversal (por definición).

La proposición Si $a,b,c$ son de diferentes líneas de con $a$ paralelo a $b$ $b$ paralelo a $c$ $a$ es paralelo a $c$.

Si las líneas son coplanares, a continuación, deje $t$ ser una línea de intersección $b$, después de aplicar el Lema 2 dos veces es un recorrido de las $a,b,c$. #10 $\angle ta=\angle tb=\angle tc$ y #11 $a$ es paralelo a $c$.

Si las líneas no son coplanares, entonces vamos a $C$ ser un punto en $c$. Por el Lema 1 $a$ $b$ están en un plano $\pi_1$, $b$ y $c$ están en un plano distinto,$\pi_2$, e $a$ $C$ están en un plano de $\pi_3$. #9 $\pi_2$ $\pi_3$ se intersecan en una línea de $l$ que contiene $C$.

$l$ no pueden cruzarse $b$ en cualquier punto de $B$, de lo contrario $a$ $B$ tanto $\pi_1$$\pi_3$, lo $\pi_1\equiv\pi_3$ por el Lema 1, $b\equiv \pi_1\cap\pi_2\equiv\pi_3\cap\pi_2\equiv l$, lo que requeriría $C$$b$, contradiciendo ese $b$ $c$ son paralelas. Por lo $l$ no se cruzan $b$, pero se cruza $c$$C$. Desde $b,c,l$ son coplanares en $\pi_2$, por el Lema 2 todos ellos no pueden ser diferentes, por lo $l\equiv c$.

$l$ no pueden cruzarse $a$ en cualquier punto de $A$, de lo contrario $b$ $A$ tanto $\pi_1$$\pi_2$, lo $\pi_1\equiv\pi_2$ por el Lema 1, contradiciendo ese $a,b,c$ no son coplanares. Desde $l\equiv c$ $a$ están en $\pi_3$ y no se cortan se sigue que $a$ es paralelo a $c$.

Answer 2

Creo que 3.11 es demostrable a partir de los postulados.

Vamos $a$, $b$, $c$ straightlines, $\alpha$ $\beta$ aviones tal que: $$a \parallel b, \quad (\mathrm{I}) $$ $$b \parallel c, \quad (\mathrm{II})$$ $$a \subset \alpha, \quad (\mathrm{III})$$ $$c \subset \beta, \quad (\mathrm{IV})$$ y $$b = \alpha \cap \beta. \quad (\mathrm{V})$$ Si $a$ no es paralelo a $c$ entonces tenemos dos casos: 1. $a$ $c$ se cruzan el uno al otro; 2. $a$ $c$ son líneas oblicuas.

Vamos a empezar por el primer caso:

(1). $a$ y $c$ se cruzan el uno al otro;

Deje $\{P \}=a \cap c$ $\alpha$ $\beta$ tiene al menos tres puntos en común (dos punto diferente en $b$ y el punto de $P$). Por lo tanto $\alpha =\beta$. Vamos $\theta$ ($\theta \neq 0$) un ángulo formado entre el$a$$c$), luego por el postulado (10) $a$ (línea transversal) se cruzan $b$ y hay un ángulo de $\theta$$a$$b$. Eso es una contradicción ya que el $a \parallel b.$

Ahora el segundo caso:

(2). $a$ y $c$ son líneas oblicuas.

Desde $b \parallel a$, $b \subset \beta$ y $a$ $c$ son desfase, hay un punto de $Q$ tal que $\{Q \}= b \cap c$. Pero eso es una contradicción ya que el $b \parallel c$.

Por lo tanto,$a \parallel c$.

Answer 3

Respuesta de $\Rightarrow$ Comentario:

"Si líneas realizar ángulos rectos en el mismo plano, entonces son paralelas". ¿No tiene este postulado 11 y el hecho de que la intersección de un plano con dos líneas (no en ese avión) define un transversal? Que debe dejar usar un plano ortogonal a las tres líneas para demostrar el teorema.