Creo que la respuesta radica en la "cultura educativa" de los físicos. Los físicos se utilizan a menudo -bueno, al menos en el nivel de licenciatura - de aprender y de realizar complicados cálculos con objetos abstractos, sin preocuparse mucho acerca de la estructura y las propiedades abstractas de la temperatura de los espacios que contienen estos objetos abstractos.
La definición de los tensores como "generalizada" de los vectores o matrices, con covariante y contravariante componentes, es uno de esos ejemplos: a partir de tal definición, permite aprender rápidamente cómo realizar cálculos con los tensores, sin exigir una profunda comprensión de la definición abstracta del tensor de productos no digamos dual espacios, colectores, la tangente y la cotangente espacios o paquetes, etc. De esta manera, un estudiante físico rápidamente se convierte en capaz de realizar cálculos en una amplia gama de temas (desde la mecánica clásica a la relatividad especial y general y de continuoum mecánica electromagnetismo e incluso en el campo de las teorías), mientras que en la mayoría de los casos (s)se echa de menos una comprensión más profunda de donde todos estos objetos "en vivo".
Además, esta "cultura educativa" parece ser apoyado por el hecho de que la definición de los tensores a través de sus propiedades de transformación surge normalmente en textos de física - a través de la fenomenológica o semi-fenomenológico consideraciones: Por ejemplo el estudio de los vectores vs gradientes o, más generalmente, a partir del estudio y la generalización de la transformatiom propiedades de los vectores de la base vs las propiedades de transformación de las coordenadas de un vector expresado con respecto a esta base. Esto es en realidad la forma en que los físicos suelen ser introducido en
entender cobases de una manera constructiva
(para usar la terminología de la OP). Una muy clara e instructiva exposición a lo largo de estas líneas, haciendo hincapié en el origen fenomenológico de este enfoque, se puede encontrar en los capítulos 2 y 3, del texto clásico de B. Schutz, Un primer curso de teoría general de la relatividad.
Edit: tal vez sería importante que en este punto, señalar que la descripción de las reglas de transformación de desplazamiento, velocidad y aceleración de los vectores, en virtud de los cambios de coordenadas, se encuentran entre los más fundamentales y delicados problemas de la mecánica, si uno es la construcción coherente de definiciones de estos conceptos, para sobrevivir a los experimentos que van desde el mundo subatómico hasta astronómico. Están penetrando las teorías físicas de la Galilea de la percepción y de la mecánica Newtoniana a la teoría de la relatividad y continuoum mecánica y de Maxwell del electromagnetismo a la moderna de las teorías cuánticas del campo.
Hay profundas razones para ello: En física, un sistema de coordenadas (o un sistema de referencia) es en realidad un observador. El estudio de las reglas de transformación de cantidades físicas, en virtud de coordenadas o de los cambios de base, no es simplemente un ejercicio teórico. En realidad, es un paso necesario en el desarrollo de cualquier teoría física, en el sentido de que permite una comunicación fluida entre los diferentes observadores, que está entre los diferentes experimentos, que es crucial en la aceptación o rechazo de cualquier teoría física.
(Por otro lado no se debe pasar por alto que en el nivel de investigación, la física teórica moderna se esfuerza para el mundial y coordinar las descripciones libres. En mi opinión, esto refleja el deseo de pasar de las descripciones fenomenológicas a la más fundamental de las teorías).
P. S.: no estoy seguro de que estoy muy de acuerdo con el uso del término "definición estándar" en el OP. Mi primer título fue en la física. Entonces me uní a la escuela de posgrado en matemática pura. Yo tenía un buen "trabajo de la comprensión" de contravariante y covariante componentes, las contracciones, la métrica de los tensores, superior e inferior de índices etc. y yo estaba muy cómodo en la realización de cálculos con dichos objetos. Todavía recuerdo mi asombro cuando por primera vez entendida la definición abstracta del producto tensor y la universalidad de sus bienes, y nociones como la doble espacios, etc. Yo estaba tratando -semanas - para hacer las conexiones entre las dos definiciones. Cuando finalmente me las arreglé para poner las cosas en orden en mi cabeza y a relacionar lo que ya sabía con lo que he aprendido en la escuela de posgrado, realmente sentí que algo muy importante había ocurrido a mí: me sentí por fin llegué a entender el ... "definición estándar" ;)
(En el comienzo de la escuela de posgrado, estaba desesperadamente pidiendo la ayuda de mis compañeros (la mayoría de ellos eran procedentes de la licenciatura de matemáticas de la escuela) con el algebraicas definición del producto tensor y los relacionados con las nociones (cociente de espacios, propiedades universales etc). Todavía recuerdo, y probablemente también, su sorpresa cuando se dieron cuenta de lo fácil que eran reales cálculos para mí y cuando ellos empezaron a pedir mi ayuda con la crianza y la reducción de los índices ... )
Para concluir con una nota sobre la terminología: después de haber leído cuidadosamente a través de los diversos comentarios al OP y a este post, creo que podría ser sensible a hablar de la definición actual como la "fenomenológico de la definición de un tensor", en lugar de "definición estándar", o el "físico" definición " o el "pre-1930 matemático de la" definición " o los "índices de definición", sólo para recoger algunos de los términos que se han de utilizar.
