4D TQFT de un modular tensor de la categoría

Question

Sé que la construcción de un 3D topológico de la teoría cuántica de campos (TQFT) a partir de un sistema modular de tensor de la categoría.

He oído que incluso podemos (matemáticamente) construir 4D TQFT de un modular tensor de la categoría. Me gustaría saber cómo construirlo.

Me gustaría estudiar, pero no sé cómo buscar referencias. Hay alguna buena palabra para buscar esta 4D TQFT? O podría sugerir referencias?

También quiero saber si hay otra matemáticamente construido 4D TQFT y cómo se llama.

Gracias de antemano.

(Esta pregunta se la hicieron en matemáticas.stackexchange, pero no se había dado respuesta.aquí)

Answer 1

Hay una construcción reciente de una completamente extendido 4d TQFT de un modular tensor de la categoría, debido a Dan Liberado y Constantin Teleman (utilizando Lurie prueba de la cobordism hipótesis). Se describe en Liberó de notas de la conferencia de las Segal 70 aniversario de la conferencia aquí: https://people.maths.ox.ac.uk/tillmann/ASPECTS.html

La idea es que el trenzado tensor categorías son, naturalmente, los objetos de un "Morita" 4-categoría (morfismos son álgebra objetos en bimodule categorías, 2-morfismos son bimodules categorías de estos, 3-morfismos son functors de aquellos, y 4-morfismos son naturales transformaciones --- la tecla de acceso rápido es que trenzada cuenta por dos, categoría cuenta para uno, juntos podemos conseguir tres, y tres categorías de formar un cuatro-categoría ---- un bebé versión de este es que álgebras de forma dos categorías, mientras que monoidal categorías (álgebras de las categorías) formar una categoría).

Liberado y Teleman muestran que modular las categorías son "superduper finito" (aka totalmente dualizable) los objetos de esta categoría, es decir, satisfacer las condiciones de la hipótesis cobordism para definir un functor de la 4d-bordism categoría. De hecho, mucho más es cierto, este la teoría del campo es invertible, la teoría de campo (...) básicamente significa que es completamente caracterizados por una sola característica de la clase de cuatro colectores, la "anomalía" de la original modular tensor de la categoría.

Así que, de hecho, usted no debe pensar de esta 4d campo de la teoría como más información MENOS información de la que el 3d de la teoría de campo conectado a la MTC, sino más bien una anomalía de la información necesarios para definir completamente las tres dimensiones de la teoría de campo (que se usar para ampliar la Chern-Simons teoría a un punto, por ejemplo.)

Edit: Como resultado de algunos intercambios interesantes con Kevin Walker y Dan Liberado yo creer que las cosas son un poco más complicado de lo que yo había entendido inicialmente. Los resultados de Liberados Teleman, de hecho, implica que el 4d CYK TFT es invertible, la teoría del campo, es decir, que modular tensor categorías son invertible objetos en la Morita 4-categoría de trenzado tensor de categorías. Esto significa que toda la teoría del campo puede ser descrito por un mapa de los espectros -- a saber, la esfera del espectro (clasificar el espacio de la enmarcado cobordism categoría) de mapeo para el espacio de invertible objetos en la Morita de la categoría. Sin embargo, no está claro exactamente lo que este destino con espacio --- lo que es mucho más fácil de ver, creo que es el OTRO espacio adjunto a la Morita de la categoría, a saber, su clasificación en el espacio (donde nos invertir morfismos para hacer un groupoid, en lugar de restringir a es invertible morfismos así como invertible objetos). El último mapa está cerca de la noción clásica de anomalía tan lejos como yo lo entiendo, pero el mapa que realmente clasifica modular tensor de categorías hasta Morita equivalencia es la antigua, sobre el que aparece no se sabe mucho.

Answer 2

El TQFT en cuestión debería de ser llamado a la Grúa-Yetter o Grúa-Yetter-Kauffman TQFT.
Grúa-Yetter-Kauffman no funciona como una completamente extendido la teoría, y no noto (tan lejos como puedo decirle a) la relación con la universidad de Witten-Reshetikhin-Turaev teorías, pero sin duda fueron los primeros en anotar el 4d parte de la teoría.

El CYK TQFT contiene toda la información de la WRT TQFT. (Esto no está de acuerdo con David Ben Zvi la respuesta, pero creo que la diferencia es debido a nuestro uso de diferentes axiomático marcos para TQFTs, no un desacuerdo acerca de hechos matemáticos.) Más específicamente, $$ Z_{WRT}(X, \Gamma) = Z_{CYK}(\partial^{-1}(X); \Gamma). $$ Aquí $X$ es una variedad de dimensión 1, 2 o 3 (no necesariamente cerrado). $X$ está equipada con extra estructura ($p_1$ estructura, la estructura de firma, null bordism estructura, ...) lo que hace que $\partial^{-1}(X)$ lo suficientemente inequívoco. (Por ejemplo, si $X$ es un circuito cerrado 3-colector, entonces la elección de $\partial^{-1}(X)$ sólo asuntos a bordism.) El $\Gamma$ sobre el lado izquierdo es una colección de "Wilson bucles" o, más generalmente, de Wilson (etiquetado) gráfico. El $\Gamma$ en el lado derecho es una condición de contorno. (El mismo gráfico, pero diferente interpretación).

Para obtener más detalles, consulte el Capítulo 9 de estas notas.

Una manera de ver esto es la siguiente. Esperamos que, aproximadamente, una correspondencia $$ \mbox{$n$-categoría} \;\; \leftrightarrow \;\; \mbox{$(n{+}1)$-dimensiones TQFT}. $$ Los datos de entrada para un WRT TQFT es un sistema modular de tensor de la categoría, que es un tipo particular de 3-categoría. Pero el WRT TQFT es un (2+1)-dimensional de la teoría, no de un (3+1)-dimensional de la teoría, así que algo raro está pasando aquí. Lo más natural con una estructura modular, tensor de la categoría es la construcción de la (3+1)-dimensional CYK TQFT, que está completamente extendida (un "0-1-2-3-4" teoría) y anomalía libre. Luego uno se da cuenta de que la CYK teoría es casi trivial para el cerrado de los colectores (más específicamente, la reducción dimensional por $S^1$ es de 2 Morita trivial), por lo que podemos derivar de la CYK TQFT la (2+1)-dimensional WRT TQFT a través de la consigna $$ Z_{WRT}(X, \Gamma) = Z_{CYK}(\partial^{-1}(X); \Gamma). $$ Pero tenga en cuenta que desde CYK es simplemente casi trivial y no completamente trivial, el WRT TQFT adquiere una anomalía (es decir, los colectores deben estar equipados con extra de la estructura). También, ya que es difícil de hacer sentido de la $\partial^{-1}(X)$ al $X$ es un punto, el WRT teoría no está totalmente extendida; es un 1-2-3 teoría en lugar de un 0-1-2-3 teoría.

También debo señalar que los datos de entrada para el CYK puede ser un premodular categoría ($S$-matriz quizás degenerado). Cuando la entrada es premodular pero no modular, entonces el CYK TQFT no es casi trivial y no podemos construir una (2+1)-dimensional TQFT como el anterior.

Answer 3

Originalmente, la idea de una 4D TQFT se encuentra en una Categoría de Hopf como se define por la Grúa y Igor Frenkel. De la grúa y de Yetter dio un ejemplo a través de ciertos cocycles más de un grupo finito. Kauffman, Saito, y me explícitamente construido este, pero nunca fueron capaces de calcular con ella.

Uno también debe mirar a través de Lurie de trabajo para obtener ejemplos explícitos de trenzado monoidal 2-categorías con duales. De David Ben-Zvi la descripción de arriba, me imagino que estos son Morita 4 categorías.