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Lo que hacen los objetos a las cúspides de Modular la curva de clasificar?

Sabemos que una construcción modular de la curva y los módulos de interpretación, yo.e, clasificar curvas elípticas con una estructura adicional. Pero después de agregar cúspides sobre él, es el cúspides también tiene módulos de interpretación? Lo que hacen los objetos de las cúspides de clasificar?

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ricree Puntos 5055

Si lo que desea es una clásica imagen de los números complejos, los objetos que se encuentren sobre la cúspide puntos de Néron polígonos equipadas con algo más de estructura. Para hacer un Néron $n$-gon, tomar $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{P}^1$ ($n$-copias de la 2-esfera), y la cola de los componentes en una circular de la cadena, con 0 en una esfera pegado transversalmente a $\infty$ en el siguiente. La acción libre de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es parte de la estructura de la $n$-gon.

La naturaleza de la extra estructura depende de los módulos problema que describe el sistema modular de la curva. Aquí están algunos ejemplos:

  • Un Néron 1-gon es un nodal cúbicos curva, por lo que el objeto se encuentra por encima de la cúspide de la $X(1)$ es un mecanismo proyectivo línea equipado con un punto en el buen lugar. Silverman da una descripción de una analítica barrio de la cúspide en su libreta de Temas Avanzados, en la sección en la Tate de la curva. Hay un sistema más formal de la descripción en el capítulo 8 de Katz-Mazur.

  • Para $X_0(N)$, el suave locus parametrizes curvas elípticas equipado con un subgrupo cíclico de orden $N$, y para cada una de las $m|N$ uno tiene cúspides que parametrizar $m$-ágonos equipado con un distinguido punto (el elemento de identidad) y un subgrupo cíclico de orden $N$ en el buen lugar.

  • Para $X_1(N)$, el suave locus parametrizes curvas elípticas equipado con un punto de orden $N$, y para cada una de las $m|N$ uno tiene cúspides que parametrizar $m$-ágonos equipado con un distinguido punto (el elemento de identidad) y el punto de fin de $N$ en el buen lugar.

  • Para $X(N)$, el suave locus parametrizes curvas elípticas equipado con un isomorfismo de $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^2$ a de la $N$-torsión, y para cada una de las $m|N$ uno tiene cúspides que parametrizar $mN$-ágonos equipado con un isomorfismo de $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^2$ a de la $N$-torsión.

Para cada uno de estos módulos problemas, hay fórmulas explícitas para el número exacto de los topes para cada una de las $m$. Para $X_0(N)$, usted lo puede encontrar en Shimura, la sección 1.6. Para los demás creo que no es muy difícil derivar.

Como han mencionado otros, Deligne-Rapoport del compactified módulos de problemas que se describen por medio de la noción generalizada de curva elíptica, que es un plano adecuado de la familia de curvas conectadas de la aritmética género 1 y en la mayoría de los nodales singularidades, equipado con un distinguido sección y un grupo de la "ley". A diferencia de la lisa caso, el grupo la ley es necesaria extra dato aquí porque no tendríamos un único, definido $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-acción en el $n$-gon más de una cúspide sin ella.

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kevtrout Puntos 2774

Sí, los módulos problema se extiende a las cúspides por medio de la generalizada curvas elípticas, es decir, ciertos semistable curvas de la aritmética género uno. Por ejemplo, con ningún nivel de la estructura hay un punto añadido en compactifying la $j$línea, y esto corresponde a un nodal cúbicos curva.

Las ideas básicas son bastante fáciles; los detalles técnicos, menos. Para un exhaustivo tratamiento moderno, recomiendo este artículo de Brian Conrad.

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