¿Cuál es el mayor posible xiii besos esfera?

Question

Es bien conocido que es imposible organizar 13 esferas de radio de la unidad de todos los tangente a otra unidad de la esfera, sin sus interiores de intersección. Esto fue al parecer el tema de desacuerdo entre Isaac Newton ("imposible") y David Gregory ("posible"). El motivo de la disputa fue, en parte, que no parece ser un montón de espacio de sobra después de las 12 esferas.

Cómo cerca de una llamada es, por así decirlo? ¿Cuál es el mayor posible $r$, de modo que es posible organizar las 12 esferas de radio de la unidad y un 13 esfera de radio $r$ todos tangente a otra unidad de la esfera, sin intersecciones? Lo que hace la configuración óptima parece?

Answer 1

Pietro versión de esta pregunta se contesta en un artículo por Oleg Musin y Alexey Tarasov (aparecer en Discretos & Geometría Computacional, http://dx.doi.org/10.1007/s00454-011-9392-2, http://arxiv.org/abs/1002.1439). La configuración encontrado por Schütte y van der Waerden (véase Joseph O'Rourke la respuesta) es óptima y única hasta isometrías.

La otra versión del problema cantidades a pedir para que el mayor agujero en un embalaje de 12 idénticos discos de radio $30^\circ$ en la 2-esfera. No sé la respuesta de improviso. Seguramente se podría averiguar lo que debe ser por la optimización numérica, pero encontrar una rigurosa prueba sería difícil. (Podría ser posible mediante el uso de las variantes de la Musin-Tarasov enfoque, lo cual es una enorme fuerza bruta de búsqueda más pequeño grafos planares.) Estoy seguro de que alguien ha de haber visto a este problema, pero no sé de un lugar donde la respuesta puede ser grabado.

Answer 2

El reciente trabajo de Hopkins, Stillinger, Turquato, "Más densa esfera local-embalaje de la diversidad. II. Aplicación a las tres dimensiones," Physical Review E 83, 011304 (2011) (Enlace PDF), las direcciones de la variante sugerida por Pietro:

"La más pequeña de radio de la superficie esférica en la que los centros de 13 esferas de la unidad diámetro puede ser colocado está fuertemente conjetura ser $R = R_\min(13) = 1.045572\ldots$, con los centros dispuestos en una estructura documentada por primera vez en Ref. [5]. Parece que, a pesar de Gregorio fue incorrecta en las conjeturas $K_3$ a ser de 13, su conjetura no fue particularmente lejos".

[5] K. Schütte y B. L. van der Waerden, Matemáticas Ann. 123, 96 (1951).

He aquí una bonita imagen (de MathWorld) que muestra las deficiencias cuando 12 unidad de las esferas, tangente en el icosaedro vértices, rodean a una unidad de la esfera:

           ^(fuente)

La actualización. Véase Henry Cohn respuesta, que cita a una más reciente papel en el que se asienta (positivamente) la conjetura se señaló anteriormente.