La generación aleatoria de grupos finitos

Question

Me gustaría que un método para generar de manera eficiente un aleatoria finita grupo de un determinado orden de $n$. Si hay $g(n)$ no isomorfos de los grupos de orden $n$, lo ideal sería que cada grupo iba a ocurrir con una probabilidad de $1/g(n)$. Así que si $n=64$, cada una de las $267$ grupos se genera con la misma probabilidad. ($g(n)$ es A000001 en OEIS.) Grupos de orden $n=2^k$ sería de especial interés.

Esto es mucho de mi experiencia, y mi búsquedas deben utilizar el término equivocado, porque no he encontrado a dichos métodos. Te agradecería punteros—Gracias!

Addendum. Los comentarios indican que esto parece ser un problema abierto, con pocas posibilidades de resolución en el cerca de futuro. Ahora tan marcados.

Answer 1

Estás ejecutando equipo experimentos para verificar conjeturas? Si es así, la BRECHA SmallGroups biblioteca le dará exactamente lo que usted desea a a $n = 1023$.

Por ejemplo, la BRECHA de comandos

 n:=16;; G:=SmallGroup(n), Random(1,NumberSmallGroups(n)));

volverá usted a un grupo escogido de manera uniforme al azar de los grupos de orden $n=16$. Los comandos similares trabajará hasta el $n=1023$. De hecho, funcionará también para todos los pedidos hasta el año 2000, excepto para 1024, y para un número considerable de otras órdenes.

También puede encontrar el SmallGroups de la biblioteca de la página web para ser útil:
http://www.icm.tu-bs.de/ag_algebra/software/small/

Se describen algunos de los métodos implicados. Si usted está dispuesto a seleccionar un grupo uniformemente al azar de una subcolección de todos los grupos de orden $2^k$, entonces hay varios trabajos en los grupos de orden $2^k$ (para diferentes valores de $k$) allí citada. La aplicación de los métodos que allí podría ser suficiente para usted, dependiendo de cuáles son sus necesidades específicas.

Answer 2

Aquí es un estúpido enfoque: el Relleno en un $n\times n$ tabla de multiplicar de forma aleatoria, a continuación, compruebe si si satisface las propiedades de un grupo.

(La parte dura es la asociatividad, aparte de que, básicamente, queremos nuestra tabla de multiplicación para ser un "cuadrado mágico", tal vez hay maneras más eficientes de manera uniforme generar los cuadrados mágicos, y, a continuación, sólo la prueba de la asociatividad).

Repita hasta que usted consigue realmente un grupo.

El resultado final debe ser distribuidos de manera uniforme sobre todo el grupo tablas de multiplicar, y dado que cada grupo $G$ admite $(n-1)!/\left|Aut(G)\right|$ diferentes tablas de multiplicar, esto conduce a una distribución como se describe en Michael Zieve del comentario.

Este es, por supuesto, lejos de la práctica, pero que ilustra lo que quiero es que, en principio, posible.