La normalidad de $\pi$ en base 16

Question

Parece que a pesar de la Bailey–Borwein–Plouffe fórmula todavía se desconoce si $\pi$ es normal en la base 16. ¿Cuáles son las dificultades en el uso para este propósito?

En un comentario a su respuesta a una pregunta acerca de decimal a la normalidad de $\pi$ Wadim Zudilin vagamente menciona a un tal "plausible conjetura sobre el comportamiento dinámico de BBP términos de suma, lo que implicaría el mantenimiento de la normalidad en la base 16".

Answer 1

Los sospechosos de siempre en este tema (Borwein, Bailey, etc.) se han escrito buenas exposiciones de este tema. Lo que sigue es descaradamente robado de ellos. Un ejemplo más sencillo de explicar, que ilustra la idea principal, es log 2. Tenemos la fórmula $$\log 2 = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n 2^n}.$$ Usted puede, si se quiere, llamar a esto una "BBP fórmula para el registro de 2" ya que te permite calcular los dígitos binarios de registro de 2 inicio después de la posición $d$ como sigue: $$\eqalign{2^d \log 2 \bmod 1 &= \sum_{n=1}^d {2^{d-n}\over n} \bmod 1 + \sum_{n=d+1}^\infty {2^{d-n}\over n}\cr &= \biggl(\sum_{n=1}^d {2^{d-n}\bmod n\sobre n} \biggr) \bmod 1 + \sum_{n=d+1}^\infty {2^{d-n}\over n}}.$$ El punto principal es que el segundo término aquí es pequeña mientras que el primer término de la llamada es $x_d$—es fácilmente computable, y de hecho satisface la recurrencia $$x_d = \biggl(2x_{d-1} + {1\over d}\biggr)\bmod 1.$$ Así que si uno puede demostrar que la secuencia de $(x_d)$ definido por la por encima de la recurrencia es equidistributed en la unidad de intervalo, entonces se puede concluir (después de quejarse un poco con el término de error) que log 2 es normal en la base 2.

Para $\pi$, el mismo argumento que va a través, excepto que el uso de la (original) BBP fórmula para $\pi$, uno es llevado a considerar un poco diferente de la recurrencia, con $2x_{d-1}$ reemplazado por $16x_{d-1}$ e $1/d$ sustituida por una más complicado función racional de $d$.

El resultado de todo esto es que BBP-tipo de fórmulas nos permiten reformular la normalidad de ciertas constantes en términos de la equidistribución de ciertos simple-en busca de las recurrencias. Pero en la actualidad, nadie tiene idea de cómo probar la equidistribución. Por lo tanto, yo no diría que hay "dificultades en el uso de la BBP fórmula para el propósito de la prueba de normalidad"; más bien, el BBP fórmula puede ser aplicada de forma directa, pero la dificultad básica permanece intacta.