Encontrar un contraejemplo: Por cada antiprime $n>1$, no es un divisor primo $p$ tal que $n/p$ es un antiprime

Question

Cuando los dinosaurios dominaban la tierra", uno de mis tareas en un Problema Seminario de licenciatura era diseñar y probar una conjetura acerca de antiprimes, y este fue mi intento:

Un antiprime (también llamada altamente número compuesto) es un entero positivo que tiene más divisores de cualquier número menor que ella. Los primeros son antiprimes $$1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360,...$$ Conjecture: For every antiprime $n>1$, there is a prime $p$ such that $p\mediados de n$ and $n/p$ es un antiprime.

De todos modos, nunca he encontrado una prueba de ello, y hace unos diez años le pregunté a la xkcd matemáticas foros si pudieran guiarme. En su lugar, alguien publicó un contraejemplo que era bastante enorme.

Una pregunta sobre MESE está preguntando acerca de la relativamente elemental conjeturas de matemáticas cuyo más pequeño de los contraejemplos son grandes números. Me gustaría sugerir mi problema, sino el de xkcd foros bajó hace cinco meses a través de una violación de datos y mi hilo no se almacena en la caché de Google o la Wayback Machine.

Puede alguien encontrar que contraejemplo? La persona que ha publicado no indican si hicieron su número a través del razonamiento matemático o de programación. He descubierto esta mañana que OEIS tiene una lista de los primeros diez mil antiprimes, así que en teoría sólo se puede venir abajo a encontrar el primer descomposición de cada uno de ellos. Pero, si es posible, hay un argumento matemático que llevaría el número correcto?

Answer 1

Mi primera respuesta fue diferente ya que se basa en la errónea fragmento de código para la generación de estos números. Sin embargo he mirado en la lista que usted ha encontrado así, se analiza y se encontró que el más pequeño de contraejemplo a tu conjetura es $$362279431624673937974303738230488502933082643722886373107941760000$$ cual es el $815$th altamente número compuesto. Para comprobar rápidamente de la lista dada, no prime la descomposición es necesario. Todo lo que tenemos que hacer es comprobar que ninguna de las $n/d$ es primordial para todos los antiprimes $d<n$. De lo contrario, podríamos tomar a $p=n/d$ y se satisfaga la condición de la conjetura. El mismo funciona en la dirección opuesta: si no no sería un primer $p$, tome $d=n/p$, y desde que claramente $d<n$, tenemos $n/d=p$ es un primo.

Por desgracia, yo no sé si hay un razonamiento matemático solo que podría ayudarle a llegar a ese número. Lo anterior es sólo suponiendo que ya tenemos una lista.

Aquí está un fragmento de código Python que utiliza:

import sympy

L=set()
for line in open("b002182.txt").readlines():
    n = int(line.split()[1])
    isok = False
    for prev in L:
        if n % prev == 0:
            if sympy.isprime(n // prev):
                isok = True
                break
    if not isok and n > 1:
        print(line)
        break

    L.add(n)

Aquí también está la lista de (la más pequeña) testimonio de los números primos $p$ para todas las que preceden a los números, $n/p$ y también el primer divisores: https://gist.github.com/TheSil/f26dc0a516d12a9a556ada3191512c99

Echa también Un Algoritmo para el cálculo Altamente Compuesto Números de artículo, y en el sitio related post hay una lista grande de gran número compuesto?.

Answer 2

AGREGÓ, por la noche. Estoy ejecutando el programa en Flammenkamp del conjunto de datos completo. Primero lo puse en orden inverso, según el primer número en cada línea, que es la suma de los exponentes de todos los números primos. Una vez más, hay dos vecinos de ejemplos que son muy similares. La tercera y cuarta líneas de abajo indican 3831 distintos números primos y exactamente 3740 de los primos con exponente 1. Muchas de estas parejas en los primeros 35 ejemplos.

Hemos encontrado 5 de estos números antes. El sexto es acerca de $2.58697067953 \cdot 10^{857}\; , \;$ con mayor factor primo $1907.$ El séptimo es acerca de $1.1815511968 \cdot 10^{947}\; , \;$ con mayor factor primo $2113.$ El octavo es de alrededor de $1.701433723433 \cdot 10^{948}\; , \;$ con que se repita más grande que el primer factor de $2113.$ El noveno se acerca $3.90407489941 \cdot 10^{968}\; , \;$ con mayor factor primo $2153.$

76 ejemplo es acerca de $1.4343006428558 \cdot 10^{\color{red}{16866}} \; , \; $con más grande que el primer factor de $ 38501 \; . \; $ comienza

$$2^{19} 3^{14} 5^8 7^7 11^5 13^5 17^4 19^4 23^4 29^4 \cdots 38459 \cdot 38461 \cdot 38501$$

After playing with this for several days, I now see little reason that there should be just a finite set of these examples. The rule, the crucial rule, is that any highly composite number is a product of primorials: the prime factorization is consecutive primes from $2$ up to some prime, with the requirement that the exponents of these primes be non-increasing. What this means is that there are a very small number of primes by which our number $n$ might be divided, and the count of these is the third number in each row of my printout. Tiny. This is also the number of $(m,n)$ pares en esa línea.

De vuelta a la sexta ejemplo:

 = 2^12 3^9 5^6 7^5 11^4 13^3 17^3 19^3 23^3 29^2 31^2 37^2 41^2 43^2 47^2 53^2 59^2 61^2 67^2 71^2 73^2 79^2 83^2 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1019 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1201 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1409 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1579 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1667 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1777 1783 1787 1789 1801 1811 1823 1831 1847 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1901  1907

 log ten  857.413

A continuación están los primeros 76 altamente compuesto de números que no son primos veces altamente número compuesto. La notación es la de Flammenkamp, la lista donde dice

He calculado la lista de la probada más pequeño 779674 HCNs (1.5 MB). Debido para ahorrar espacio, cada línea de este 'unbzip2 ed archivo echa de menos

---

el primer 76 ejemplos:

   55   33  5: ( 10, 1)( 6, 1)( 4, 1)( 2, 5)( 1, 25)
  123   92  6: ( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 3, 3)( 2, 6)( 1, 80)
  132  100  6: ( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 3, 3)( 2, 7)( 1, 87)
  139  104  6: ( 12, 1)( 8, 1)( 4, 2)( 3, 1)( 2, 9)( 1, 90)
  141  106  6: ( 12, 1)( 8, 1)( 5, 1)( 3, 2)( 2, 9)( 1, 92)
  345  292  8: ( 12, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 4)( 2, 14)( 1, 269)
  372  319  8: ( 13, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 3)( 2, 16)( 1, 295)
  376  319  7: ( 16, 1)( 10, 1)( 5, 2)( 4, 1)( 3, 3)( 2, 16)( 1, 295)
  379  325  8: ( 12, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 4)( 2, 15)( 1, 301)
  386  330  6: ( 15, 1)( 10, 1)( 5, 2)( 3, 5)( 2, 15)( 1, 306)
  415  357  7: ( 14, 1)( 10, 1)( 6, 1)( 4, 3)( 3, 3)( 2, 16)( 1, 332)
  420  363  8: ( 13, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 4)( 2, 17)( 1, 337)
  420  363  8: ( 14, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 4)( 2, 17)( 1, 337)
  456  394  7: ( 16, 1)( 10, 1)( 5, 2)( 4, 1)( 3, 4)( 2, 19)( 1, 366)
  467  407  7: ( 15, 1)( 10, 1)( 6, 1)( 4, 3)( 3, 3)( 2, 17)( 1, 381)
  467  407  7: ( 16, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 4, 3)( 3, 3)( 2, 17)( 1, 381)
  483  421  8: ( 13, 1)( 10, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 3)( 2, 20)( 1, 392)
  613  546  8: ( 14, 1)( 9, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 5)( 2, 20)( 1, 515)
  625  556  8: ( 16, 1)( 10, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 3)( 2, 24)( 1, 523)
  642  573  8: ( 15, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 6)( 2, 21)( 1, 541)
  670  598  8: ( 16, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 1)( 3, 6)( 2, 23)( 1, 564)
  677  607  8: ( 16, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 4)( 2, 24)( 1, 573)
  712  641  8: ( 15, 1)( 9, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 5)( 2, 23)( 1, 607)
  721  647  8: ( 16, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 4)( 2, 26)( 1, 611)
  722  647  8: ( 18, 1)( 10, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 4)( 2, 26)( 1, 611)
  852  774  8: ( 17, 1)( 9, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 4)( 2, 27)( 1, 736)
  937  857  8: ( 16, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 5)( 2, 30)( 1, 816)
  939  856  7: ( 18, 1)( 10, 1)( 6, 2)( 4, 3)( 3, 4)( 2, 30)( 1, 815)
  950  869  7: ( 16, 1)( 10, 1)( 6, 2)( 4, 3)( 3, 5)( 2, 28)( 1, 829)
 1117 1027  9: ( 17, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 5)( 2, 34)( 1, 981)
 1138 1049  8: ( 17, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 6)( 2, 33)( 1, 1003)
 1140 1051  8: ( 16, 1)( 11, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 6)( 2, 33)( 1, 1005)
 1149 1059  9: ( 16, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 2)( 3, 6)( 2, 33)( 1, 1013)
 1161 1069  8: ( 19, 1)( 11, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 4)( 3, 4)( 2, 34)( 1, 1023)
 1239 1147  8: ( 17, 1)( 10, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 4, 4)( 3, 5)( 2, 34)( 1, 1100)
 1424 1325  8: ( 19, 1)( 12, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 33)( 1, 1277)
 1444 1344  8: ( 19, 1)( 12, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 34)( 1, 1295)
 1447 1349  8: ( 18, 1)( 11, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 4)( 3, 7)( 2, 35)( 1, 1299)
 1478 1378  8: ( 18, 1)( 11, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 36)( 1, 1327)
 1480 1378  8: ( 19, 1)( 12, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 36)( 1, 1327)
 1540 1438  9: ( 16, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 38)( 1, 1385)
 1540 1438  9: ( 17, 1)( 10, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 38)( 1, 1385)
 1581 1475  9: ( 18, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 6)( 2, 41)( 1, 1420)
 1818 1708  9: ( 17, 1)( 12, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 2)( 3, 8)( 2, 42)( 1, 1650)
 1870 1758  9: ( 18, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 46)( 1, 1697)
 1936 1822  9: ( 19, 1)( 10, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 4)( 3, 7)( 2, 45)( 1, 1761)
 1938 1824  9: ( 19, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 3)( 3, 7)( 2, 47)( 1, 1762)
 2006 1891  9: ( 19, 1)( 10, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 4)( 3, 7)( 2, 46)( 1, 1829)
 2329 2207  9: ( 18, 1)( 13, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 47)( 1, 2142)
 2367 2245  9: ( 19, 1)( 12, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 5, 1)( 4, 4)( 3, 9)( 2, 48)( 1, 2179)
 2368 2245  9: ( 18, 1)( 13, 1)( 7, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 48)( 1, 2179)
 2510 2385  9: ( 18, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 2)( 3, 10)( 2, 50)( 1, 2317)
 2547 2420  9: ( 18, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 8)( 2, 54)( 1, 2349)
 2565 2437  9: ( 19, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 8)( 2, 54)( 1, 2366)
 2611 2482  9: ( 18, 1)( 13, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 8)( 2, 55)( 1, 2410)
 2683 2555  9: ( 18, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 54)( 1, 2483)
 2856 2724  9: ( 19, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 1)( 4, 4)( 3, 9)( 2, 56)( 1, 2650)
 2961 2826  9: ( 20, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 2)( 3, 11)( 2, 57)( 1, 2750)
 2989 2855  9: ( 20, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 2)( 3, 10)( 2, 58)( 1, 2779)
 3029 2895  9: ( 18, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 59)( 1, 2818)
 3111 2973  9: ( 20, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 61)( 1, 2894)
 3144 3003  9: ( 20, 1)( 13, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 62)( 1, 2923)
 3145 3003  9: ( 22, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 62)( 1, 2923)
 3169 3029  9: ( 20, 1)( 13, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 62)( 1, 2949)
 3183 3042  9: ( 22, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 9)( 2, 62)( 1, 2962)
 3299 3159  9: ( 18, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 11)( 2, 60)( 1, 3079)
 3565 3415  9: ( 21, 1)( 13, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 4)( 3, 11)( 2, 63)( 1, 3331)
 3566 3417  9: ( 21, 1)( 13, 1)( 9, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 4)( 3, 10)( 2, 64)( 1, 3333)
 3587 3440  9: ( 20, 1)( 13, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 11)( 2, 65)( 1, 3355)
 3588 3440  9: ( 22, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 11)( 2, 65)( 1, 3355)
 3688 3537  9: ( 22, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 11)( 2, 67)( 1, 3450)
 3702 3554  9: ( 22, 1)( 11, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 12)( 2, 63)( 1, 3470)
 3985 3831  9: ( 20, 1)( 13, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 3)( 3, 12)( 2, 70)( 1, 3740)
 3987 3831  9: ( 22, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 4)( 3, 11)( 2, 70)( 1, 3740)
 4121 3964  9: ( 22, 1)( 12, 1)( 8, 1)( 6, 1)( 5, 2)( 4, 4)( 3, 11)( 2, 71)( 1, 3872)
 4217 4059  9: ( 19, 1)( 14, 1)( 8, 1)( 7, 1)( 5, 2)( 4, 4)( 3, 11)( 2, 72)( 1, 3966)

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Answer 3

Estoy de acuerdo con Sil y del menor altamente número compuesto como $$362279431624673937974303738230488502933082643722886373107941760000$$

Definir $h_n$ como $n$'th altamente número compuesto. También me parece que hay $5$ ejemplos de menos de $10^{600}$:

• $h_{815}=362\,279\,431\ldots000\approx 10^{66}$

• $h_{4372 }=604\,369\,999\ldots000\approx 10^{220}$

• $h_{4996 }=111\,588\,694\ldots000\approx 10^{244}$

• $h_{5312 }=605\,226\,260\ldots000\approx 10^{257}$

• $h_{5442 }=142\,430\,057\ldots000\approx 10^{262}$

La forma completa de los números está disponible (aquí). He utilizado un código de python adaptado de dario2994 del Github: generate_hcn.py el código en Github. El código en cuestión está disponible en Github: DalyConjecture.py y genera la lista de altamente compuesto de números y los números primos intrínsecamente, por lo que no requiere ningún requisito previo tablas de datos ni paquetes. Es muy rápido de ejecutar el código y devuelve el correspondiente altamente compuesto de los números por debajo de $10^{200}$ dentro de los segundos, pero (en mi máquina, al menos) es susceptible a la memoria de los desbordamientos en la búsqueda por alto los límites $\approx 10^{700}$.

La observación de que los contraejemplos parecen agrupado en $(10^{66},10^{262})$ aún ausente de la gran intervalo de $(10^{262},10^{600})$ sugiere que este podría ser el único contraejemplos. Todavía no he sido capaz de ver más allá de $10^{600}$.

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Siguiente Se Jagy del comentario, he incluido el primer descomposiciones de los contraejemplos:

• $h_{815}=2^{10}\cdot3^{6}\cdot5^{4}\cdot7^{2}\cdot\ldots\cdot131^{1}\cdot \underbrace{137^{1}}_{p_{34}}$

• $h_{4372 }=2^{10}\cdot3^{7}\cdot5^{5}\cdot7^{3}\cdot\ldots\cdot463^{1}\cdot \underbrace{467^{1}}_{p_{92}}$

• $h_{4996 }=2^{10}\cdot3^{7}\cdot5^{5}\cdot7^{3}\cdot\ldots\cdot521^{1}\cdot \underbrace{523^{1}}_{p_{100}}$

• $h_{5312 }=2^{12}\cdot3^{8}\cdot5^{4}\cdot7^{4}\cdot\ldots\cdot557^{1}\cdot \underbrace{563^{1}}_{p_{104}}$

• $h_{5442 }=2^{12}\cdot3^{8}\cdot5^{5}\cdot7^{3}\cdot\ldots\cdot569^{1}\cdot \underbrace{571^{1}}_{p_{106}}$

Vemos que los contraejemplos han monótonamente decreciente primer exponentes, por lo que son también muy superior compuesto de números. Es interesante que el mayor factor primo tiene incluso el índice, a pesar de que la secuencia de estos índices se que no obvia el patrón.