El crecimiento de la "denominador" de las potencias de un número algebraico

Question

Deje $z \in \overline{\bf Q}$ ser un algebraica de números. Definir el "denominador" de la z a la menos natural de número de $n$ tal que $nz$ es un entero algebraico.

Por un lugar ad hoc argumento (jugando con el polinomio mínimo de $z$ para calcular los altos poderes de la $z$ en términos de potencias bajas de $z$, y la medición de los coeficientes obtenidos p-adically), que puede mostrar la siguiente:

Si $z$ es un número algebraico que no es un entero algebraico, entonces el denominador de $z^m$ crece exponencialmente en $m$ en el límite de $m \to \infty$ (por lo tanto no es $c>1$ de manera tal que el denominador es, al menos, $c^m$ para todos lo suficientemente grande $m$).

Esto es obvio en el caso de $z$ es racional, desde el teorema fundamental de la aritmética, pero no pude encontrar una igualmente rápida de la prueba, en el caso general; presumiblemente, única factorización en primos ideales para un número adecuado de campo es la clave, pero (algo para mi vergüenza) mi teoría algebraica de números es demasiado oxidada de averiguar cómo aprovechar esta aquí. Así que me estoy planteando la cuestión aquí a ver si alguien puede encontrar una prueba de este hecho.

Answer 1

Hay algunas campo de número de $K$ contiene $z$, y no tenemos una descomposición en factores primos $$ (z)=\frac{\mathfrak{p}_1\ldots\mathfrak{p}_a}{\mathfrak{p}_1\ldots\mathfrak{q_b}} $$ de la fracción de ideales, donde no $\mathfrak{p}_i$ es igual a un $\mathfrak{q}_j$. Si $nz^m$ es un entero algebraico, a continuación, $(\mathfrak{q}_1\ldots\mathfrak{q_b})^m$ divide $(n)$ (como ideales de $\mathcal{O}_K$). Esto significa $$ N(\mathfrak{p}_1\ldots\mathfrak{q_b})^m|N(n)=n^{[K:\mathbb{Q}]}, $$ así que $$ n\geq \left(N(\mathfrak{p}_1\ldots\mathfrak{q_b})^{1/[K:\mathbb{Q}]}\right)^m. $$ Podemos tomar $$ c=N(\mathfrak{p}_1\ldots\mathfrak{q_b})^{1/[K:\mathbb{Q}]} $$