¿Por qué la pertenencia no es transitiva?

Question

Del libro de Halmos Naive Set Theory, sección 1:

Observa, en la misma línea, que la inclusión es transitiva, mientras que la pertenencia no lo es. Ejemplos cotidianos, que involucran, por ejemplo, superorganizaciones cuyos miembros son organizaciones, vendrán rápidamente a la mente del lector interesado.

La pertenencia parece ser transitiva. ¿Alguien puede explicar?

Answer 1

Un vértice de un triángulo pertenece al triángulo. Un triángulo pertenece al conjunto de todos los triángulos. Pero, un vértice no es en sí mismo un triángulo.

Answer 2

La diferencia entre $\subset$ y $\in$ es que el primero se aplica a expresiones en el mismo nivel de anidamiento y el segundo se aplica a expresiones a un nivel de anidamiento separado entre sí. Así que cuando encadenas dos $\in$'s juntos obtienes algo a dos niveles de anidamiento, lo cual no es en general comparable a un solo $\in$. Por otro lado, como $\subset$ no cambia el nivel de anidamiento, no tiene este problema.

Esta es la idea detrás del ejemplo dado en otras respuestas de $$ \varnothing\in \{\varnothing\}\in \{\{\varnothing\}\},\qquad \varnothing \not\in \{\{\varnothing\}\}. $$

Answer 3

$42 \in \mathrm{Even} \in \mathcal{P}(\mathbb{Z})$ pero $42 \not\in \mathcal{P}(\mathbb{Z})$ porque 42 no es un conjunto de enteros.

$\text{Peter} \in \text{Humans} \in \text{Species}$ pero $\text{Peter} \not\in \text{Species}$ porque Peter no es una especie.

Answer 4

Sea $y=\{\emptyset\}$. Y $x=\{y\}$. Entonces $\emptyset\in y$ y $y\in x$, pero $\emptyset\not\in x$.

Answer 5

Consideremos el conjunto vacío $\phi,$ que no tiene miembros. Y $x=\{\phi\}$ tiene un miembro (a saber, $\phi$ es el único miembro de $x$). Y sea $y=\{x\}.$

Entonces $\phi \in x$ y $x\in y.$

Pero $\phi\not\in y,$ porque el único miembro de $y$ es $x,....$ y $x$ no es $\phi$ porque $x$ tiene un miembro mientras que $\phi$ no tiene ninguno.