Fibonacci, composiciones, historia

Question

Existen tres familias básicas de composiciones restringidas (particiones ordenadas) que se enumeran mediante los números de Fibonacci (con desplazamientos):

a) composiciones con partes de {1,2} (por ejemplo, 2+2 = 2+1+1 = 1+2+1 = 1+1+2 = 1+1+1)

b) composiciones que no tienen 1 como parte (p. ej., 6 = 4+2 = 3+3 = 2+4 = 2+2+2)

c) composiciones que sólo tienen partes Impares (por ejemplo, 5 = 3+1+1 = 1+3+1 = 1+1+3 = 1+1+1+1)

La conexión entre (a) y los números de Fibonacci se remonta al análisis de la poesía védica del primer milenio de la era cristiana, al menos (Singh, Hist. Math. 12, 1985).

Cayley hizo la conexión con (b) en 1876 (Messenger of Mathematics).

¿Quién estableció primero la conexión con (c), las composiciones de la parte impar? Se sabía en 1969 (Hoggatt & Lind, Fib. Quart.), pero sospecho que se hizo antes. Gracias por cualquier ayuda, especialmente con las citas.

¡BOUNTY! No estoy seguro de hasta qué punto esto incentiva las respuestas, pero estaría bien averiguarlo. Por cierto, he consultado a Art Benjamin, Neville Robbins y Doug Lind sobre esto (Doug mencionó modestamente del artículo de 1969 ``Incluso es posible que este fuera un resultado original'').

Answer 1

Lo encontré. (Lo siento, Doug, ja, ja.)

Augustus de Morgan añadió varios apéndices a su Elementos de aritmética en la quinta edición, 1846 (disponible en Google Books). El apéndice 10, páginas 201-210, es "sobre combinaciones". El párrafo correspondiente está en la 202-203.

Requiere el número de formas en que un número puede ser compuesto de números Impares, los diferentes órdenes cuentan como diferentes formas. Si $a$ sea el número de formas en que $n$ puede hacerse así, y $b$ el número de formas en que $n+1$ se puede hacer, entonces $a+b$ debe ser el número de formas en que $n+2$ se puede hacer; porque toda forma de hacer $12$ de los números de impar es una forma de hacer $10$ con el último número incrementado en $2$ o una forma de hacer $11$ con un $1$ anexos. Así, $1+5+3+3$ da $12$ formado por $1+5+3+1$ dando $10$ . Pero $1+9+1+1$ se forma a partir de $1+9+1$ dando $11$ . En consecuencia, el número de formas de formar $12$ es la suma del número de formas de formar $10$ y de formar $11$ . Ahora, $1$ sólo puede formarse en $1$ manera, y $2$ sólo puede formarse en $1$ manera; por lo tanto $3$ sólo puede formarse en $1+1$ o $2$ formas, $4$ sólo en $1+2$ o $3$ maneras. Si tomamos la serie $1$ , $1$ , $2$ , $3$ , $5$ , $8$ , $13$ , $21$ , $34$ , $55$ , $89$ , &c. en el que cada número es la suma de los dos anteriores, entonces el $n$ de este conjunto es el número de formas (órdenes de contar) en las que $n$ puede formarse con números Impares. Así, $10$ puede formarse en $55$ formas, $11$ en $89$ formas, &c.

Estableció el "aumento" y la "anexión" al derivar la fórmula del número de lo que ahora llamamos composiciones. No trata ninguna de las otras dos restricciones mencionadas anteriormente.

Answer 2

Hago esto como una respuesta en lugar de un comentario para llamar la atención de los demás.

La búsqueda en Google Books de las composiciones "partes Impares" de Fibonacci hace que aparezcan varios textos modernos de combinatoria que podrían tener una referencia para el resultado. También aparece una revista canadiense de 1961 que sólo tiene un fragmento, pero que podría aportar información útil. Si el autor sigue interesado en localizar la fuente, los resultados de la búsqueda pueden ser fructíferos, sobre todo porque es posible que no estuvieran disponibles en el momento de la primera publicación.

Gerhard "Ask Me About System Design" Paseman, 2012.02.10