Si un cuadrado se puede recorrer en tiempo finito

Question

Usted está a punto de $C$ dentro de la plaza de $ABCD$ en el plano Cartesiano, en el que $A=(0,0), B=(0,1), C=(1,1), D=(1,0)$. Usted desea conseguir el vértice $A$. Sin embargo, su "velocidad" en $\frac{\text{units}}{\text{sec}}$ es igual en todas partes a su coordenada. Se puede obtener de la $C$ a $A$ en tiempo finito? Si se puede, ¿cuál es el mínimo tiempo necesario para el viaje?

Un amigo me preguntó esto como un desafío recientemente de lo que yo creo que fue un libro de texto de cálculo. No he encontrado ninguna forma concreta de resolver la cuestión de una manera o de otra (o incluso de crearlo correctamente), pero la mayoría de mi intuición me dice que el viaje no debe ser posible en un tiempo limitado. Específicamente, me parece que este problema es de alguna manera relacionado con el hecho de que la serie armónica, así como la integral de la serie armónica, diverge. Por otro lado, tal vez este problema es como Zenón de paradojas - un número infinito de disminución de pasos a añadir algo finito.

En la resolución del problema en sí, yo sé que uno puede simplificar si se puede hacer en un tiempo finito si va en línea recta desde el $B$ a $A$ puede ser hecho en tiempo finito. Reducir al mínimo el tiempo (si es que existe), no tengo idea de cómo determinar cómo probar infinitas funciones de $(1,1)$ a $(0,0)$ por su "velocidad"s, aunque suponemos que están en ninguna parte cóncava hacia arriba siempre debe ser más rápido. $y=\sqrt{x}$">

Answer 1

Otra respuesta: Para llegar desde la altura de la $y$ a la altura de la $\frac y2$, usted necesita para recorrer una distancia de, al menos, $\frac y2$ a velocidades de menos de $y$. Esto lleva al menos la mitad de un segundo. Así que no importa qué tan cerca está a 0, usted todavía tiene más de la mitad de un segundo a la izquierda.

Answer 2

Usted ya ha encontrado que la existencia de la pregunta puede ser reducida a ir directamente del $B$ a $A$. En la pierna, el $y$ coordinar $y(t)$ sigue el ordinario de primer orden lineal differentional ecuación de $y'=y$, con solución de $y=c\,\mathrm e^{-t}$. Si comienzas a $t=0$, lo que determina la constante a se $c=1$, por lo que su $y$ de coordenadas es $y=\mathrm e^{-t}$. Esta desintegración $0$ exponencialmente y no llega a $0$ en tiempo finito.

Answer 3

Incluso más fácil...

Cuando se $y$ unidades de distancia de la $x$-eje, están a un segundo de distancia a la velocidad actual, y esta velocidad sólo puede disminuir. No importa la cantidad de enfoque, que es siempre más de un segundo de distancia.

Answer 4

Usted tiene (ignorando el movimiento horizontal) $$\tag1y'\ge -y.$$ Deje $f(t)=y(t)e^t$. Entonces $$f'(t)= (\underbrace{y(t)+y'(t)}_{\ge 0})\,e^t\ge 0$$ así que $$f(t)\ge f(0)=y(0)\qquad \text{for all }t\ge 0.$$ En particular $$y(t)\ge y(0)e^{-t}>0$$ for all $t>0$.

Answer 5

Este es el estándar de "medio-plano" modelo del plano hiperbólico.

Your "speed" in units/sec is everywhere equal to your y-coordinate.

Esta es la equivalente a la constante de velocidad de unidad en la media estándar-modelo de avión del plano hiperbólico. "La mitad de plano" se refiere a la mitad superior del plano, es decir, si $y>0$.

Para obtener entre dos puntos, el camino más rápido es por el círculo centrado en el eje x que pasa por los dos puntos.

Por desgracia para cualquier persona que quiera obtener de C a en Un tiempo finito, el eje de las x en sí no es parte de el avión y no se puede llegar.

Desde el punto de vista del plano, el eje x se compone de los "puntos en el infinito". Cada uno de estos puntos es una dirección en la que usted puede ir, como lo que "la +dirección x" es la norma Euclidiana del plano. Usted puede caminar en esa dirección como el tiempo que quieras, pero usted nunca va a llegar allí.