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Serre presenta nueve conjeturas * C * $_1$ -* C * $_9$ sobre las representaciones de Galois en $l$ -La cohomología de variedades algebraicas proyectivas no singulares definidas sobre un campo local o global. ¿Cuál es la situación actual de estas conjeturas? Las dos primeras forman parte de las conjeturas de Weil, pero ¿qué pasa con el resto? ¿Qué avances (parciales) se han hecho para su resolución? Permítanme recordar las conjeturas a continuación (omitiendo las dos primeras).
Dejemos que $K_v$ sea un campo local de característica residual $p$ , dejemos que $Y$ sea una variedad proyectiva no singular sobre $K_v$ y que $m\ge 0$ . Si $G_v$ es el grupo de Galois absoluto de $K_v$ la funtorialidad de $l$ -cohomología adica ( $l \neq p$ ) nos da una representación $\rho_l\colon G_v \rightarrow H^m(\overline{Y}, \mathbb{Q}_l) =: V$ (aquí $\overline{Y}$ es el cambio de base de $Y$ al cierre separable de $K_v$ ). Se puede medir la ramificación $\rho_l$ es introduciendo $\epsilon = \dim V - \dim V^{I_v}$ ( $I_v$ es la inercia en $G_v$ ) y $\delta$ que es un poco más complicado de definir (es el producto interior de $\mathrm{Tr }\ \rho_l|_{I_v}$ con el "carácter cisne" de $\rho_l$ (véase 2.1 en [S]). El exponente conductor de $\rho_l$ es entonces $f = \epsilon + \delta$ .
* C * $_3$ : Los enteros $\epsilon$ , $\delta$ y $f$ son independientes de $l$ .
Estado: ???
* C * $_4$ : $\mathrm{Tr }\ \rho_l|_{I_v}$ toma valores en $\mathbb{Z}$ y es independiente de $l$ .
Estado: ???
Consideremos el Frobenius geométrico $\pi \in G_v/I_v$ . Entonces $\rho_l(\pi)$ actúa sobre $V^{I_v}$ y obtenemos un polinomio $P_{\rho_l}(T) = \det(1 - \rho_l(\pi) T)$ .
* C * $_5$ : $P_{\rho_l}$ tiene coeficientes en $\mathbb{Z}$ y es independiente de $l$ .
Estado: ???
Asumiendo que esta última conjetura se divide $P_{\rho_l}(T) = \prod (1 - \lambda_\alpha T)$ y que $Nv$ denotan la cardinalidad del campo de residuos de $K_v$ .
* C * $_6$ : Para cada $\alpha$ hay un número entero $m(\alpha)$ entre $0$ y $m$ tal que $|\alpha| = (Nv)^{m(\alpha)/2}$ .
Estado: ???
* C * $_7$ : Si $\epsilon = 0$ (es decir, si $\rho_l$ es unramificado) entonces todos los $m(\alpha)$ son iguales a $m$ .
Estado: ???
* C * $_8$ : Dejemos que $g$ sea un elemento de $G_v$ cuya imagen en $G_v/I_v$ es una potencia integral de Frobenius. Entonces el polinomio característico de $\rho_l(g)$ tiene coeficientes en $\mathbb{Q}$ y es independiente de $l$ .
Estado: ???
La última conjetura * C * $_9$ se refiere a la función zeta $\zeta(s)$ de una variedad proyectiva no singular $X$ definido sobre un campo global $K$ (y fija $m \ge 0$ como arriba), así como la versión completa $\xi(s)$ de $\zeta(s)$ . Es un poco difícil definir $\zeta(s)$ y $\xi(s)$ así que me referiré a [S] $\S$ 3, $\S$ 4 para eso. Ambos $\zeta(s)$ y $\xi(s)$ son funciones holomorfas en algún semiplano derecho.
* C * $_9$ : $\zeta(s)$ y $\xi(s)$ admiten continuaciones meromórficas al plano complejo. Además, $\xi(s)$ satisface la ecuación funcional $\xi(s) = w\xi(m + 1 - s)$ con $w = \pm 1$ .
Estado: Abierto. Después de todo, un caso especial de esto es la continuación meromorfa de $L$ funciones de curvas elípticas sobre campos numéricos.
A medida que vayan llegando las respuestas, no dudes en editar los campos de estado de arriba añadiendo más información (y yo mismo intentaré hacerlo).
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Tengo entendido que la conjetura de la "independencia de l" está todavía muy abierta. Weizhe Zheng Sur l'indépendance de en cohomologie l-adique sur les corps locaux Annales scientifiques de l'ENS 42, fascicule 2 (2009), 291-334 es probablemente uno de los resultados más avanzados que hay.