Que las distribuciones puede que muestra si usted puede tomar una muestra de Gauss?

Question

Explícitamente: Usted tiene un equipo que es capaz de recoger un número real al azar de acuerdo a la distribución normal: $\mathcal{N}(0,1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$. Que las distribuciones puede este equipo de muestreo, siempre que el programa debe terminar después de un número finito de pasos (no casi seguramente, pero, lógicamente, debe terminar)?

Para un simple ejemplo, si su equipo muestra una 'feria de la moneda, los jefes de 1/2 y colas de 1/2, entonces también puede probar cualquier binario evento con una probabilidad de un diádica racional: $p/2^n$, $0 \leq p \leq 2^n$ un entero. No puede ejemplo de un evento con una probabilidad de $1/3$. El programa de "lanzar dos monedas, $HH$ es un éxito, y en $TT$ repetir el experimento" no está permitido porque no está garantizado para terminar (aunque va a terminar con una probabilidad de $1$).

Dado que puede ser difícil de caracterizar 'todo lo posible' distribuciones, he aquí una pregunta concreta: ¿Puede la muestra a partir de la medida de Haar en cualquier compacto de la matriz de la Mentira de grupo?

EDIT: La idea de un número real aleatorio tiene más filosóficos y prácticos sutilezas que me di cuenta cuando la publicación de esta pregunta. Animo a los comentaristas para responder a partir de diversas interpretaciones, pero para conseguir el balanceo de la bola de cómo acerca de estas restricciones:

1) Dada al azar los números reales x y y, la computadora puede calcular x + y, xy y x/y (siempre que y =/= 0) en un solo paso. (Usted puede también multiplicar/agregar/dividir números racionales)

2) Dado un real número aleatorio x, el equipo puede decidir en un solo paso si x > 0, x = 0 o x < 0 y actuar en consecuencia.

Sé que esto no puede modelar con precisión cómo las computadoras o modelos de equipo de trabajo, así que, como dije se siente libre para jugar con estos supuestos.

Answer 1

Esta no es una clasificación completa, aunque me sorprende que nadie ha mencionado que podemos construir fácilmente el más conocido continua de las distribuciones de funciones racionales de $N(0,1)$ variables.

Deje $\{ X_1, X_2, X_3, \dots \}$ ser independientes $N(0,1)$ variables aleatorias. Entonces tenemos:

• $\textrm{Gamma}(\frac{n}{2},\frac{1}{2}) = X_1^2 + \dots + X_n^2$
• $\textrm{Beta}(\frac{n}{2},\frac{m}{2}) = \dfrac{X_1^2 + \dots + X_n^2}{X_1^2 + \dots + X_{n+m}^2}$
• $\textrm{Uniform}[0,1] = \dfrac{X_1^2 + X_2^2}{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}$ (caso especial de la Beta)

También puede obtener el Estudiante $t$-distribución, entre otras cosas (un poco más complicado, pero aún así una función racional de independiente $N(0,1)$ variables aleatorias).

De todos modos, sumando y multiplicando por constantes, podemos cambiar la escala de esas distribuciones:

• $\textrm{Uniform}[a,b] = \dfrac{a(X_1^2 + X_2^2) + b(X_3^2 + X_4^2)}{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2 + X_4^2}$
• $\textrm{Gamma}(\frac{n}{2},\lambda) = 2\lambda(X_1^2 + \dots + X_n^2)$
• $\textrm{Exponential}(\lambda) = 2\lambda(X_1^2 + X_2^2)$ (caso especial de Gamma)

Creo que para ser capaces de construir la distribución uniforme es probablemente mi favorito de estos resultados, no menos porque no es inmediatamente evidente a partir de la construcción que debe ser uniforme.

EDIT: En una investigación más profunda, es evidente que la construcción de la distribución uniforme en términos de cuatro Gaussianas tiene una elegante interpretación en el contexto de la computación cuántica.

Answer 2

Sólo quiero observar que si $X$ es $\mathcal N(0,1)$ e $Y$ tiene cualquier distribución con una estrictamente creciente* cdf $F_Y$ tal que $F_Y^{-1} \circ F_X$ es computable (en cualquier modelo de la computabilidad se trabaja con), luego cada uno es sampleable de la otra.

De hecho, supongamos que tenemos un $\mathcal N(0,1)$ variable aleatoria $X$ con cdf $F_X$.

Nota de la variable aleatoria $F_Y(Y)$ es uniforme en $[0,1]$.

Supongamos que obtenemos una muestra valor de $x$ de $X$. A continuación, $F_Y^{-1}(F_X(x))$ es una muestra de valor de $Y$: $$ \mathbb P(Y\le F_Y^{-1}(F_X(x))) = \mathbb P(F_Y(Y)\le F_X(x))=F_X(x)=\mathbb P(X\le x). $$ *En realidad, es suficiente con que $Y$ tienen estrictamente creciente cdf en un intervalo que es una.s. pertenece.

Sin embargo, $x\mapsto e^x$ no BSS-computable, por lo que no puede ser que muchos de esos $Y$'s si el uso de ese modelo.

Answer 3

La mentira de los grupos de esferas y es fácil de probar la de las esferas, por lo que es fácil de ejemplo de medida de Haar. Podemos muestra de $S^{n-1}\subset\mathbb R^n$ tomando $n$ muestras normales, suponiendo que no todos cero, y la normalización de los vectores a tumbarse en la unidad de la esfera, usando raíces cuadradas. $SO(n)$ actúa en $S^{n-1}$, la preservación de la medida estándar, con estabilizador de conjugado de a $SO(n-1)$. Por inducción podemos degustar de $SO(n-1)$, por lo que podemos degustar de $SO(n)$. Otros compactos conectado grupos tienen estructuras similares. Si queremos una muestra de desconectado grupos, debemos dividir nuestro espacio muestral en $n$ regiones de igual medida. Esto puede ser difícil para las dificultades de distribución, pero es fácil para el círculo, dada funciones trigonométricas.