¿El complejo de tableros de ajedrez 4x5 es un complemento de enlace?

Question

Los complejos de tablero de ajedrez de 2x3 y 3x4 (forman una rejilla cuadrada de vértices y hacen un simplex para cualquier conjunto de vértices de los que no hay dos en la misma fila o columna) son un ciclo de 6 y un toro triangulado con 24 triángulos, respectivamente. El complejo del tablero de ajedrez de 4x5 es sólo un pseudomanifold -cada vértice tiene el toro de 3x4 como enlace, en lugar de un enlace esférico que tendría un colector adecuado-, pero si se eliminan sus 20 vértices se obtiene un auténtico 3manifold hiperbólico cuspado, triangulado por 120 tetraedros ideales regulares. Se parece al tipo de colector que podría obtenerse como complemento de un enlace de 20 componentes en el espacio euclidiano. ¿Es un complemento de enlace? Y si es así, ¿de qué enlace es el complemento?

Edición: aquí hay un par de referencias generales sobre los complejos de tableros de ajedrez.

Ziegler, G. M. (1994). La conchabilidad de los complejos de tablero de ajedrez. Israel J. Math. 87: 97-110 .

Björner, A.; Lovász, L.; Vrecica, S. T.; Zivaljevic, R. T. (1994). Complejos de tablero de ajedrez y complejos de emparejamiento. J. London Math. Soc. 49: 25-39 .

También tienen importantes aplicaciones a la demostración de los teoremas de Tverberg coloreados en geometría discreta: véase, por ejemplo

Pavle V. M. Blagojevic, Benjamin Matschke, Günter M. Ziegler (2009). Límites óptimos para el problema de Tverberg coloreado. arXiv:0910.4987 .

Answer 1

Ya conocí este colector. Es una cubierta normal del orbifold $\mathbb{H}^3/\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}[\zeta])$ donde $\zeta=e^{\pi i/3}$ .

Sospecho que en realidad es $\mathbb{H}^3/\ker\left(\mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}[\zeta])\rightarrow \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}[\zeta]/I)\right)$ donde $I$ es el ideal $\langle 2+2\zeta\rangle$ .

Para $I=\langle 2+\zeta\rangle$ , el colector es un complemento de enlace, véase el artículo de Ian Agol sobre el enlace de congruencia de Thurston para ver un dibujo.

Para $I=\langle 3\rangle$ Podría demostrar que se trata de un complemento de enlace, pero fracasé en la construcción del enlace.

Answer 2

Figura 1.27 de http://math.berkeley.edu/~matthias/research/matthias_goerner_thesis_print.pdf muestra el enlace.