Estimación radical de $2^n \pm 1$

Question

No estoy seguro si esto pertenece a MO o no. ¿Hay algún límite inferior radical de $2^n \pm 1$?

Recordamos que el radical de un entero $rad(k)$ es un producto de números primos que dividen a $k$.

Como un ejemplo, si el abc de la conjetura es verdadera en la forma $max(|a|,|b|,|c|) \leq rad(abc) ^2 $ luego $$rad(2^n \pm 1) \geq 2^{n/2 - 1}.$$ Me pregunto si esta estimación es probado (o tal vez conjetura) por alguien? ¿Hay alguna que no sea trivial resultados aquí?

Answer 1

El papel arXiv:1409.2974v1 demuestra un lexema con respecto a $2^L-1$.

Deje $n$ ser un entero positivo, y definir $L = \text{lcm}[1, 2, \dots n]$ e $t = \lfloor \frac{\log(n)}{\log(2)} \rfloor$. A continuación,$L*\text{rad}(2^L-1) \le 2^t(2^L-1)$.