¿Qué es Chern-Simons teoría de espera para asignar a un punto?

Question

Deje $G$ ser un equipo compacto, conectado, (simplemente conectado?) Mentira grupo y que $k \in H^4(BG, \mathbb{Z})$ ser un cohomology de la clase. Witten mostró, en un nivel físico de rigor, que con estos datos se determina el $3$-dimensiones topológicas teoría cuántica de campos (va hacia abajo a las superficies), de Chern-Simons teoría.

Posteriormente, otros autores (Reshetikhin-Turaev, ???) describe cómo extender esta teoría, a $1$-colectores. Es sabido que dicha teoría es determinado por lo que se asigna a un círculo de $S^1$, que debe ser un sistema modular de tensor de la categoría; esta categoría puede ser descrito como una categoría determinada de representaciones del bucle grupo $LG$ en el nivel $k$ o como una cierta categoría de representaciones de la cuántica grupo $U_q(\mathfrak{g})$ donde $q$ es una función adecuada de $k$. La relación entre estas dos descripciones es claro para mí.

Mi impresión es que se espera que Chern-Simons teoría se extiende todo el camino hacia abajo a $0$-colectores; es decir, que es totalmente extendido TQFT. Por Lurie clasificación, dicha teoría es completamente determinado por lo que se asigna a un punto, que es totalmente dualizable objeto de un adecuado $3$-categoría.

¿Cuáles son algunas conjeturas descripciones de este objeto?

El nLab es algo vago en este tema. Aquí es lo que yo sé:

El objeto correspondiente para $3$-dimensiones Dijkgraaf-Witten teoría es conocida, aunque no estoy seguro exactamente de que esto es debido a la. Aquí $G$ es reemplazado por un grupo finito y $k$ es considerado como una clase en $H^3(BG, \text{U}(1))$. $k$ se utiliza para torcer el asociador en la categoría monoidal de $G$-graduada de espacios vectoriales, dándole una categoría monoidal (en realidad una fusión de la categoría) de "twisted $G$-graduada de espacios vectoriales," para ser considerado como totalmente dualizable objeto en el $3$-categoría monoidal categorías y bimodule bicategories sobre estos (Douglas-Schommer-Pries-Snyder?), y yo creo que esto es lo completamente extendida $3$-dimensiones Dijkgraaf-Witten asigna a un punto. Liberado-Hopkins-Lurie-Teleman generalizado de esta construcción para el caso de que $G$ es un toro, aquí $G$-graduada de espacios vectoriales son reemplazados por los rascacielos de poleas en $G$. No sé si esto se espera que generalizar.

Answer 1

Tengo una propuesta para lo que Chern-Simons debe asignar a un punto:

El $\otimes$-categoría de (ciertos) las representaciones de $\widetilde{\Omega G}$.

Aquí, $\Omega G$ es la base de bucle de grupo, y la tilde indica que se debe tomar a la central de extensión heredado del nivel de $k$ central de las extensiones de $LG$.

Otra forma de redacción de la propuesta, que también funciona al $G$ no está conectado (Dijkgraaf-Witten teoría los casos especiales de las mismas, al $G$ es finito) es decir que es la categoría de (ciertos) vector de paquetes sobre el espacio de moduli de $G$-paquetes de más de $[0,1]$ trivializado en $\{0,1\}$.

La definición precisa es descrito en el minuto 50 de el siguiente video: http://youtu.be/2imygWqTET8 (y si vas a verla, recomiendo ver desde el principio)

Añade después: Aquí hay una serie de notas escritas por Qiaochu de una charla que di sobre el tema.

Answer 2

Yo quería hacer un par de comentarios técnicos relacionados con cómo su pregunta se refiere a nuestro papel con Chrises Douglas y Schommer-Pries. Lo tengo un poco largo para un comentario, así que me estoy haciendo de él una respuesta.

En nuestro papel de los objetos en el objetivo 3 de la categoría consideramos que son "finitos tensor de categorías" (a través de un campo perfecto) en el sentido de Etingof-Ostrik. Es decir, son abelian, finito, y rígido. Esto es por varias razones técnicas en la construcción de la relativa versión de Deligne del producto tensor y en otros lugares. En este contexto específico, nos muestran que sólo el 3-dualizable objetos (seperable multi-)la fusión de las categorías. Así que en la configuración de finito de tensor de categorías sólo puede darse cuenta de 321 teorías donde el valor del círculo es un centro de fusión en una categoría, y por lo tanto, usted no puede darse cuenta de Chern-Simons teoría con nuestro objetivo. (Para algunos pequeños ejemplos que puede usar sólo la dimensión de los argumentos como en el de Andre hablar, y para más ejemplos generales puede utilizar argumentos acerca de la anomalía.) Así, en nuestro restringido configuración es posible obtener una respuesta negativa a su pregunta.

Sin embargo, como mi asesor me enseñó, un resultado negativo es pensado como un desafío: ¿cómo puede cambiar su hipótesis, de modo que usted puede evitar el teorema! En este caso, uno debería ser capaz de construir una meta mayor, 3-categoría permitiendo más general monoidal categorías en el destino. Esto es un poco complicado, en particular, puede que tenga que dejar el mundo de abelian categorías y el uso de la Kelly tensor de producto en el lugar de Deligne del producto tensor. No hemos salido de los detalles, de manera que no quiero intentar hacer una definición precisa y mucho menos de una reclamación. En una más de configuración general es importante tener en cuenta que semisimplicity, la rigidez y la finitud no se conservan en virtud de equivalencia de Morita! Así que no hay duda de que son totalmente dualizable monoidal categorías que no son la fusión (por ejemplo, como Dan Liberado me señaló A-mod-Una para cualquier ordinaria no semisimple álgebra A). De hecho, si miramos a nuestra prueba de que el pleno de dualizability implica semisimplicity pasa a través de dos pasos: primero, mostrar que Z(C) es semisimple y luego utilizar eso para probar que C es semisimple. El último paso se rompe sin finitud y la rigidez. De hecho, lo que parece estar pasando (esto no es un teorema, ya que no podemos incluso hacer la declaración precisa) es que lo importante es que Z(C) es finito, rígido, y semisimple, y que C sí no es tan importante. Por lo tanto, habría todavía la esperanza de encontrar una categoría monoidal que no es fusión, pero donde Z(C) es la fusión. Andre respuesta da una sugerencia en concreto.

Por último les dejo una advertencia. Algunos de los resultados en nuestro papel moralmente "debe" aplicar de una forma más general de la configuración (por ejemplo, 2-dualizability debería tener más en general), mientras que otros utilizan la finitud o la rigidez de una forma esencial (por ejemplo, un Radford objeto no deben tener más en general). En nuestro ámbito, es imposible hacer este tipo de distinciones en el teorema de las declaraciones, pero hemos intentado hacer esto en claro en sus comentarios. Pero usted debe tener cuidado de recordar que la finitud y la rigidez son indispensables para algunos de los resultados en nuestro trabajo y se limita a los supuestos técnicos de otros resultados.

Answer 3

No sé bien cómo esta respuesta encaja con la de André, y sin duda hay un montón de sutilezas que no me he enterado, pero:

En el espíritu de la cobordism hipótesis, para obtener un TFT 3d es necesario adjuntar una categoría monoidal $C$ para el punto. Para llegar a la dimensión 3, esta categoría debe, como usted dice, cumple con algunos dualizability condiciones que entre a decir que $C$ es en realidad la fusión. Este es básicamente el resultado de Douglas-Schommer-Pries-Snyder que mencionas, y lo que se obtiene es la Turaev-Viro TFT asociados con $C$

Entonces, ¿qué se adjunta el círculo tiene una estructura canónica de un sistema modular de categoría, y no es nada, pero el centro de Drinfeld $Z(C)$ de %de$C$.

Más o menos, usted puede conseguir Reshetikhin--Turaev TFT iniciando directamente desde el círculo, en sustitución de $Z(C)$ por cualquier modular categoría y, a continuación, la reconstrucción de las dimensiones superiores "de la misma manera". Esto explica por qué Turaev-Viro de $C$ y Reshetikhin-Turaev de $Z(C)$ esencialmente coincide.

Por lo tanto, si su modulares categoría no es el centro de algunas de fusión de la categoría, creo que usted no puede ir hasta el punto.

La categoría de $U_q$-módulos de mencionar que no es ciertamente el centro de cualquier otra categoría. En realidad, es una conjetura que estos son los bloques de construcción de todas modular categorías que no son equivalentes a los del centro de fusión en una categoría. Su relación con la categoría de $LG$-módulos a nivel de $k$ ha sido preciso por Kazdhan--Lusztig y Finkelberg.

Todo esto está de alguna manera relacionado con el hecho de que la RT TFT suelen tener una " anomalía y así es, estrictamente hablando, no del todo real 3d TFT. La forma "correcta" de refundición de esto en el marco de la cobordism hipótesis es ver el RT de construcción de algún tipo de condición de contorno de una extendida, honesto 4d TFT. Ver, por ejemplo, ¿Cuál es la forma correcta de pensar acerca de las "anomalías" en 3d TQFTs? o Liberados de Teleman en relación la teoría cuántica de campos.