Valor esperado como criterio de decisión en el contexto de eventos raros

Question

A menudo he visto debates sobre las medidas que deben adoptarse en el contexto de los acontecimientos raros en términos de valor esperado. Por ejemplo, si una lotería tiene una probabilidad de ganar de 1 en 100 millones, y ofrece un beneficio esperado positivo, entonces uno "debería" comprar ese billete de lotería. O, si un asteroide tiene una probabilidad de 1 en 1.000 millones de chocar con la Tierra y por lo tanto extinguir toda la vida humana, entonces uno "debería" tomarse la molestia de destruir ese asteroide.

Este tipo de razonamiento me preocupa.

Normalmente, la justificación para considerar el valor esperado se basa en la Ley de los Grandes Números, es decir, si se experimentan repetidamente eventos de este tipo, entonces con alta probabilidad el beneficio medio se aproximará al beneficio esperado. Por lo tanto, el beneficio esperado sería un buen criterio para las decisiones sobre acontecimientos comunes. Sin embargo, para los acontecimientos raros, este tipo de razonamiento no es válido. Por ejemplo, el número de billetes de lotería que compraré en mi vida está muy por debajo del régimen asintótico de la ley de los grandes números.

¿Hay alguna justificación para utilizar sólo el valor esperado como criterio en este tipo de eventos raros?

EDITORIAL: Como muchos han señalado, el artículo de Slate discute muchos temas, y no es justo decir que este artículo suscribe este punto de vista. Sin embargo, hay otras fuentes que parecen suscribirlo.

Answer 1

El El criterio de Kelly es el estrategia de apuestas óptima para un jugador con recursos limitados (y si uno tuviera una cantidad infinita de capital probablemente no estaría interesado en comprar billetes de lotería de todos modos).

Un jugador de Kelly apuesta una cantidad fraccionada de su capital $X$ en cada ensayo para maximizar el valor esperado de $ \log X$ . La estrategia no depende del número de ensayos, por lo que no importa si el resultado negativo (o positivo) es un evento poco frecuente.

El criterio de Kelly tiene varias propiedades agradables.

• Maximizando $ \mathbb E[ \log X]$ maximiza asintóticamente la tasa de crecimiento del capital.

• El tiempo esperado para alcanzar un capital objetivo preasignado es asintóticamente más pequeño con una estrategia que maximiza $ \mathbb E[ \log X]$ .

• El apostador Kelly nunca está detrás de ningún otro apostador en promedio en $N$ ensayos.

• El apostador Kelly nunca se arriesga a la ruina (y el apostador maximiza $ \mathbb E X$ lo hace; la variación puede arruinarlos).

En la práctica, la estrategia de Kelly descarta la compra de billetes de lotería para la mayoría de los inversionistas racionales (la cantidad de capital que pueden permitirse apostar es mucho menor que el precio de un billete de lotería típico).

Puede que le interesen los documentos "Sistemas de juego óptimos para juegos favorables" por L. Breiman y "El criterio Kelly en el Blackjack, las apuestas deportivas y el mercado de valores" por E. Thorp. También hay varios buenos artículos sobre el tema de W. Ziemba en Revista Wilmott .

Answer 2

No hay ninguna justificación para utilizar sólo el valor esperado como criterio en este tipo de eventos raros. También http://stats.stackexchange.com .

Answer 3

En mi opinión, el valor esperado es un criterio de decisión útil, pero lejos de ser definitivo en situaciones como ésta. En otras palabras, creo que una persona que decide si comprar un billete de lotería debe calcular el valor esperado, pero no necesita obedecer sus dictados. Aludo a esto en el artículo de Slate que usted menciona, que escribí hace casi diez años:

"Pero hay un problema aún más profundo, que es este: No está nada claro que los beneficios de tener 280 millones sean 280 millones de veces más grandes que los beneficios de mantener tu dólar original. De hecho, esos beneficios varían de persona a persona. Algunas personas cambiarán gustosamente un dólar por una posibilidad de 1 en 10 de 10. Algunas personas preferirían tener el dólar. Las matemáticas no pueden decirte cuál de los dos prefieres, aunque los psicólogos han aprendido mucho sobre lo que la gente prefiere normalmente. La mayoría de las personas son "reacias al riesgo". Dadas las opciones anteriores, se quedarían con su dólar."

Tío, ¡olvidé cuántas ecuaciones me dejaban poner en mis artículos!

Answer 4

Varios conjuntos de axiomas de racionalidad (vonNeumann-Morgenstern, Savage y otros) implican que las personas se comportan de manera de maximizar la utilidad esperada. Una función de utilidad diferenciable es (por definición) aproximadamente lineal en pequeños rangos, por lo que para las apuestas pequeñas, maximizar la utilidad esperada es lo mismo que maximizar el valor esperado. En el caso de las grandes apuestas, este razonamiento, por supuesto, no se aplica.

(En caso de que eso no estuviera claro Supongamos que empiezas con la riqueza I y consideras una apuesta en la que podrías ganar la cantidad x con la probabilidad p y perder la cantidad y con la probabilidad 1-p. El teorema dice que existe una función U tal que tomarás esta apuesta si y sólo si pU(I+x) > (1-p)U(I-y). Cuando x e y son suficientemente pequeñas, esto es esencialmente equivalente a px > (1-p)y. )

Answer 5

Por lo general, la gente quiere equilibrar tanto la recompensa (por ejemplo, el rendimiento esperado) como alguna medida de riesgo. Para dar sólo un ejemplo, en la moderna teoría de la cartera se habla de una "frontera eficiente" de diferentes estrategias, en la que la varianza de rendimiento se reduce al mínimo para un determinado valor esperado, o se maximiza el valor esperado para una determinada varianza. A priori, ninguna estrategia particular en la frontera se considera óptima en general: lo mejor para un individuo depende de sus preferencias de riesgo/recompensa. En el lado menos matemático, mire cualquier artículo popular sobre la asignación de activos verá que se habla mucho de la "tolerancia al riesgo" personal.

Sin embargo, hay dos cosas especiales sobre el artículo de la lotería de Slate que mencionas. Primero, el autor del artículo ha contribuido a Math Overflow en el pasado, y puede que tenga respuestas para usted. (El internet es un mundo pequeño...) En este caso supongo que el punto principal fue criticar los factores a menudo pasados por alto que entran en el valor de la lotería, no dar consejos de inversión. Por un lado, si es una buena idea por razones puramente económicas comprar un billete de lotería, es casi seguro que es una buena idea comprar 100, y nadie parece estar recomendando eso :-)

Eso nos lleva a la segunda característica especial de las loterías: el verdadero valor, hasta donde puedo decir, es que son divertidas. Si compras un boleto, puedes soñar con ser rico por un tiempo. Comprar 100 boletos puede multiplicar tus probabilidades de ganar, pero por cualquier razón no parece aumentar la diversión de soñar despierto.