Muchos de los textos de introducción a la geometría algebraica establecer algún tipo de álgebra-geometría diccionario en el que los radicales ideales corresponden a las variedades, y así sucesivamente. Me pregunto si hay una forma geométrica a pensar en una subalgebra de un polinomio anillo? Por ejemplo, los invariantes de los anillos puede desarrollar algunos intuición, pero ¿qué pasa infinitamente generado subalgebras? Un ejemplo sencillo podría ser el infinitamente generado monomio álgebra $k[x,xy, xy^2, xy^3, \dots]$ como una subalgebra en $k[x,y]$ para algunas campo $k$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Farinha
Puntos
5518
A veces, estas álgebras son productos de fibra a lo largo de surjective homomorphisms, y Karl Schwede del papel en el Encolado de los Esquemas nos dice cómo el espectro parece. Por ejemplo:
1) El espectro de $k[x,xy,xy^2,\dotsc] \cong k[x,y] \times_{k[y]} k$ es $\mathbb{A}^2_k$ con la línea de $x=0$ contratado a un punto. Este es el ejemplo de 3.5 en el artículo citado.
2) El espectro de $k[x^2,x^3] \cong k[x] \times_{k[x]/(x^2)} k$ es $\mathbb{A}^1_k$ con un punto racional duplicado, es decir, el cuspidal de la curva.
3) El espectro de $k[x^2-1,x^3-x] \cong k[x] \times_{k[x]/((x-1)(x+1))} k$ es$\mathbb{A}^1_k$, con dos puntos racionales identificado, es decir, los nodos de la curva.
4) El espectro de $\{(a,b) \in \mathbb{Z}^2 : a \equiv b \text{ mod } 6\}$ es el encolado de dos copias de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ a lo largo de la cerrada puntos de $(2),(3)$. Curiosamente, si se localizan en todos los números primos $\neq 2,3$, obtendrá un esquema afín que es débilmente homotopy equivalente a $S^1$, el Pseudocircle.
Debido a que la geometría y el álgebra son conectados por el contavariant $\textrm{Spec}$ functor, una subalgebra corresponde a la imagen de una dominante de morfismos. Así subalgebras de $k[x_1,..,x_n]$ son afines esquemas con el dominante mapas de $\mathbb A^n_k$.
A veces, como en tu ejemplo, este es además un surjective de morfismos, por lo que se ve como el cociente de $\mathbb A^n$ por algunos de equivalencia de la relación. Pero a veces, el ejemplo más sencillo ser $k[x,xy] \subset k[x,y]$, no llega a ser surjective. Aquí hay un mapa desde el plano al plano cuya imagen es el plano menos una línea de más de un punto.
Puesto que la imagen es siempre denso, podemos geométricamente pensar que es el cociente de $\mathbb A^n_k$ por una relación de equivalencia seguida de una conclusión o parcial compactification.
sickgemini
Puntos
2001
Cabe mencionar el caso especial donde hay un grupo de $G$ actuando en $k[x_1, \ldots, x_n]$ e $A$ es el álgebra de funciones invariantes. Entonces, por definición, $\mathrm{Spec} \ k[x_1, \dots, x_n]^G$ es GIT cociente $\mathbb{A}^n//G$. A la pregunta de cómo esto se relaciona con la topológico cociente $\mathbb{A}^n/G$ es sutil, pero en muchos casos son iguales o muy cerca de la igualdad. Buscar un libro de texto sobre Geométricas Invariantes Teoría para más detalles.
Alexander Gladysh
Puntos
682
Uno debe tener en cuenta que hay un formal análogo de este arbitrarias afín esquemas. Si $A,B$ son anillos conmutativos, a continuación, un homomorphism $f:A \to B$ induce un mapa continuo $f^*:\mathrm{Spec}(B) \to \mathrm{Spec}(A)$.
Se puede demostrar (ver, por ejemplo, el Ejercicio 1.21(v), Introducción al Álgebra Conmutativa, Atiyah y Macdonald), el mapa de $f^*$ es dominante, lo que significa que la imagen es más densa (que, en topología, es lo suficientemente bueno como surjective) si el núcleo de $f$ está contenida en el nilradical de $A$ (que es simplemente el radical del ideal de la $0$).
Tan radical ideales en lugar de arbitrario ideales corresponden a los subconjuntos algebraicos, para cualquier anillo de $A$ natural, de las map $\mathrm{Spec}(A/\mathfrak{a}) \to \mathrm{Spec}(A)$ es un homeomorphism siempre $\mathfrak{a}$ es un ideal que consiste enteramente de nilpotents.
Por lo tanto, el mapa de la $\mathrm{Spec}$'s, es decir, la geometría del mapa asociado a un mapa de los anillos, es dominante si el mapa de $f$ da cuenta de $A$ modulo algunos nilpotents como una subalgebra de $B$. En particular, si $A$ es reducido, el mapa de $f^*$ es dominante iff $f$ es inyectiva.
