Geometría de "Adelic" Arakelov

Question

En las conferencias de Soule sobre la geometría de Arakelov, sugiere la siguiente "mejora" de la geometría de Arakelov:

Como dijimos antes, la geometría de Arakelov es una estática generalización de infinito descenso. Por ejemplo, cuando se hace la teoría de intersección en $X$ no se permite mover los ciclos; no se permite el uso de analógicos de Chow's Moving Lemma es conocido por $ \mathbb {Z}$ . Un enfoque más dinámico sería un Adic variante de la geometría de Arakelov. El objeto principal de El estudio de esta teoría sería una variedad suave $V$ sobre $ \mathbb {Q}$ y el vector paquetes en $V$ equipado con métricas en los lugares de Arquímedes, y $p$ -adic análogos de estos en lugares finitos. Tal geometría de Adelia todavía está por ser construido.

¿Cuál es el estado de esta geometría de Adelia? ¿Tienen algo que decir al respecto temas como la geometría analítica rígida y los espacios de Berkovich?

Answer 1

Esto puede ser más adecuado como un comentario largo. Recuerdo que alguien le preguntó a Soulé sobre los problemas actuales de la teoría de Arakelov durante un paseo en la escuela de verano (2017) en Grenoble. La teoría de la intersección ad lícita es uno de los temas que mencionó. El otro tema son las preguntas que se dejaron fuera en la charla del ICM de Arakelov. Dijo que muchas de ellas son todavía problemas abiertos.

Sin embargo, no estoy familiarizado con la literatura reciente sobre este tema (para ser específico, el trabajo de Yuan y Zhang ACL, Gubler, etc.). Los espacios de Berkovich aparecieron mucho en la literatura reciente para que podamos trabajar con espacios arquímicos y no arquímicos en el mismo escenario. Dado que la principal dificultad que enfrenta la teoría de Arakelov es la de los lugares en el infinito, no sé cuál es la contribución esencialmente nueva a la teoría desde el punto de vista álico. Pero también soy bastante ignorante.

Mi comprensión ingenua es que debido a que no hay "métrica natural" en todo el anillo de Adele, el marco clásico de Arakelov se hace mucho más difícil de trabajar. Los puntos están "engrosados" y el $p$ -análisis análogo de objetos en el infinito puede no estar disponible (Zhang tiene un artículo El emparejamiento admisible en una curva explorando esto, antes de la invención de la geometría tropical!). Para la teoría unidimensional de Arakelov, hay una teoría de divisores de matrices de Ichiro Miyada. También existe la posibilidad de extenderla al campo funcional. Pero para dimensiones superiores no conozco ningún intento serio de generalizar Faltings-Riemann-Roch al ámbito adálico.