Si p es un primo distinto de 7, ¿se puede escribir todo entero como suma de dos cubos módulo p? ¿Se ha demostrado de forma sencilla y directa el problema de Waring mod p para cubos? Gracias por la demostración. Lemi
Usted pregunta si $X^3+Y^3=a$ tiene una solución en $\mathbb F_p$ para cada $a\in\mathbb F_p$ . Eso está claro si $a=0$ . Si $a\ne0$ entonces $X^3+Y^3=a$ describe una curva cúbica no singular, por lo que por el Teorema de Hasse, su terminación proyectiva tiene al menos $p+1-2\sqrt{p}\;$ $\mathbb F_p$ -puntos. Hay como máximo $3$ apunta al infinito, por lo que ha terminado como $p+1-2\sqrt{p}-3>0$ para $p>7$ .
No creo que haya una prueba más sencilla, excepto para el caso trivial $p\not\equiv1\pmod{3}$ . Hay versiones ligeramente más débiles (y más fáciles de demostrar) del Teorema de Hasse, que son lo suficientemente buenas para tu propósito.
Un buen relato del Teorema de Hasse (en característica $\ne2,3$ ) está en este trabajo de Chahal y Osserman . Otra demostración de una versión más débil del Teorema de Hasse se encuentra en la sección 1.6 del libro Logarithmic Forms and Diophantine Geometry de Baker y Wüstholz.
Añadido más tarde: Retomando las sugerencias de Gjergji Zaimi y Lucia, el resultado se desprende de la adición de Vosper al Teorema de Cauchy-Davenport una vez que sabemos que los cubos en $\mathbb F_p^\star$ para $p\equiv1\pmod{3}$ no forman una progresión aritmética. Sin embargo, eso es fácil de ver: La suma sobre los cubos desaparece, al igual que la suma sobre los cuadrados de los cubos si $p>7$ . Supongamos que hay $u,v$ tal que $\sum_{i=1}^{(p-1)/3}(u+iv)^m=0$ para $m=1$ y $m=2$ . Para $m=1$ obtenemos $3u+v=0$ y $m=2$ rinde $3^3u^2+2\cdot3^2uv+v^2=0$ Por lo tanto $0=2\cdot3^2\cdot11u^2$ y por lo tanto $u=v=0$ .
En este caso el teorema de Hasse tiene una demostración más sencilla: si se calcula el número de puntos utilizando caracteres aditivos se obtiene $p-2$ más la contribución de las sumas de Gauss adjuntas a los dos caracteres de orden exactamente $3$ .
Debería haber una prueba más sencilla utilizando la desigualdad de Cauchy Davenport. (Podríamos necesitar el resultado de Vosper, que también caracteriza cuándo puede darse la igualdad)
En un trabajo de Leep y Shapiro, se demuestra el siguiente teorema sin apelar a Hasse--Weil o Cauchy--Davenport/Vosper: Sea $F$ sea un campo arbitrario y que $G$ sea un subgrupo de $F^{\ast}$ del índice $3$ . Entonces $G+G=F$ excepto cuando $|F| = 4, 7, 13$ o $16$ . Parece que cuando $F$ es finito, la prueba dada allí se debe a Berrizbeitia.
La referencia es
Subgrupos multiplicativos de índice tres en un campo , Proc. Amer. Math. Soc. 105 (1989), 802--807.
El argumento en esta respuesta de MO: Pruebas sencillas de la existencia de curvas elípticas con un número determinado de puntos muestra que el número de soluciones de $y^2=f(x)$ , $f$ un cúbico, es como máximo $3p/2$ . Tomando un giro cuadrático, se deduce que el número de soluciones es al menos $p/2$ . La ecuación $x^3+y^3=a$ se puede poner en forma de Weierstrass con un cálculo un poco complicado pero elemental y el resultado es el siguiente.
Utilizando sumas de caracteres se puede demostrar que si $G$ es un subgrupo de $\mathbb{F}_p^\times$ con $|G|>p^{\frac{k+1}{2k}}$ entonces cada elemento de $\mathbb{F}_p^\times$ es una suma de $k$ elementos de $G$ . En particular, se deduce para $p\geq 83$ que cada elemento de $\mathbb{F}_p^\times$ es una suma de dos cubos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
