Variedades en las que todos los no-cero eficaz divisor es amplio

Question

La siguiente pregunta parece muy intuitivo, pero no he sido capaz de encontrar ninguna prueba (o contraejemplo).

Deje $X$ ser un no-singular variedad proyectiva de $\dim X\ge 2$ y deje $NS^1(X)$ ser su Nerón-Severi grupo. Si todos los no-cero eficaz divisor a $X$ es amplio, no se sigue que la $X$ ha Picard número uno, es decir, $\rho=$ rango $NS^1(X)=1$?

Motivación:

1) En el caso de Fano variedades el resultado es true (la prueba es una aplicación fácil de Riemann-Roch). De hecho, este resultado fue un ingrediente clave en Mori de la prueba de Hartshorne de la conjetura para proyectiva 3-espacio (es decir, 3 veces con un amplio tangente paquete es isomorfo a $\mathbb{P}^3$). Ver Mori original del artículo para más detalles.

2) En este Mathoverflow pregunta Charles Staats pide una superficie con la propiedad de que cualquiera de las dos curvas en la superficie han trivial intersección. En su comentario, BCnrd considerado un 3d de la superficie con Picard número uno, que satisface la condición, precisamente, porque la eficacia de cualquier divisor es amplio. Una pregunta natural es si la superficie tiene Picard número uno.

Estoy principalmente interesado en el caso de que $X$ es una compleja variedad proyectiva. En el caso de que el resultado no se sostiene, también me gustaría estar interesado en ver un hormigón contraejemplo y otros ejemplos de variedades en las que el resultado se mantiene.

Answer 1

Es un hecho general que en cualquier simple abelian variedad, un eficaz divisor es amplio. El siguiente resultado subyace a la habitual prueba algebraica de la projectivity de abelian variedades (definido inicialmente sólo como completar el grupo de variedades). Por lo tanto, es bastante estándar; la primera referencia que viene a la mente es el Lema 8.5.6 en la página 253 en el abelian variedades capítulo del libro Alturas en diophantine geometría por Bombieri y Gubler, a partir de la cual cito textualmente.

Dejar que Un ser un abelian variedad y $D$ eficaz divisor tal que el subgrupo $$ Z_D : \hspace{3cm} \{ a \in A \mediados de los a + D = D \} $$ es finito. A continuación, $D$ es amplio en $A$.

Si el abelian variedad $A$ es simple, y $D$ es distinto de cero, entonces el $Z_D$ es , a fortiori, finito, ya que se trata de un adecuado algebraicas subgrupo de $A$; y de ello se desprende del citado Lema 8.5.6 que $D$ es suficiente.

Una aplicación. Un surjective de morfismos $f: A \to X$ a partir de una simple abelian variedad en positivo-dimensional variedad proyectiva $X$ es finito.

Prueba. Elija $H \subset X$ un amplio divisor. El divisor $f^*H$ es eficaz en $A$, por lo tanto es amplio. Esto es equivalente a $f$ ser finito.