¿Tiene sentido decir que algo es casi infinito? En caso afirmativo, ¿por qué?

Question

Recuerdo haber escuchado a alguien decir "casi infinito" en este vídeo de YouTube . En el minuto 1:23, dice que se colocan trozos "casi infinitos" de líneas verticales a lo largo de $X$ longitud.

Como alguien que no ha estudiado muchas matemáticas, lo de "casi infinito" parece una tontería. O algo se acaba o no se acaba, realmente no hay un espectro de inacababilidad.

¿Por qué no infinito?

Answer 1

El casi infinito puede tener mucho sentido en la física. No hay una definición precisa, pero yo lo interpretaría como lo siguiente: cuando algo es "casi infinito", las propiedades que estamos considerando apenas cambiarán cuando hagamos que el sistema sea realmente infinito.

Ejemplos:

• En termodinámica, el número de partícula suele ser del orden del número de Avogadro $N\approx 6.022\cdot10^{23}$ . Para la mayoría de las propiedades consideradas esto es básicamente infinito.
• Digamos que tenemos una distribución gaussiana $f(x)=e^{-\pi x^2}$ . La integral sobre la recta de números enteros es $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^2}\text d x=1$ pero la mayor parte del área está en una pequeña porción centrada en el cero. Si tomamos en su lugar $\int_{-L}^{L}e^{-\pi x^2}\text d x$ entonces se aproximará a 1 con muchos decimales aunque $L$ es tan pequeño como 5. Si se toma $L=100$ entonces, en lo que respecta a $f$ se considera, $L$ es infinito. En la mecánica cuántica esto $f$ podría ser la función de onda de una partícula, por ejemplo.

Answer 2

"Casi infinito" es un término descuidado que podría utilizarse para significar "efectivamente infinito", en un contexto determinado. Por ejemplo, si un valor grande de $x$ en $y = 1/x$ produce un valor menor que la precisión de la medición de $y$ entonces suele ser razonable establecer el valor de $y$ a cero, lo que equivale a establecer el valor de $x$ hasta el infinito.

Answer 3

Su observación de que "o algo se acaba o no se acaba" es correcta, pero al mismo tiempo no es especialmente útil.

El lenguaje matemático existe para transmitir ideas; y a veces un lenguaje ligeramente descuidado, que no corresponde a ningún objeto o propiedad matemática bien definida, puede ayudar a transmitir esas ideas.

Supongamos que para alguna aplicación nos interesa la función $f(x) = \frac{6}{1-1/x}$ . Como $x\to\infty$ esta función va a $6$ y, además, podemos incluso ampliar el dominio de la función para incluir $\infty$ y decir que $f(\infty)=6$ .

Pero supongamos que $x$ no es exactamente el infinito, pero es grande, digamos $x=10^{12}$ . Así que $f(x)$ se acercará bastante, pero no será igual, a $6$ . Supongamos que la pequeña diferencia no es significativa para nuestra aplicación. Entonces podemos decir que $x$ es casi infinito, y que por lo tanto $f(x)$ es casi $f(\infty)$ que es el 6.

Así que aunque $x$ no es realmente infinito, la distinción no es esencial para nuestra aplicación, y podemos comunicar esta observación diciendo que es casi infinito.

En general, a medida que un estudiante avanza en sus estudios de matemáticas, primero aprende a hacer las cosas con rigor y después aprende a no hacerlas con rigor. Es decir, entiende las ideas subyacentes lo suficientemente bien como para saber cuándo puede sacrificar la precisión del lenguaje -cuando es seguro hacerlo sin sacrificar la precisión de las ideas subyacentes- para facilitar la comunicación.

Dicho esto, no sé si la frase específica "casi infinito" se utilizaría comúnmente para este propósito. Entre otras razones, porque la palabra "casi" se utiliza en muchos contextos para propiedades que sí tienen un significado riguroso específico.

También señalaré que no he visto el vídeo enlazado, por lo que no puedo comentar cómo ha utilizado el término.

Answer 4

En términos sencillos, algo es "casi infinito" si es tan grande que no habría diferencia si fuera más grande. Esto se puede formalizar con la noción matemática de límite, como se muestra en las respuestas anteriores. Aquí me gustaría añadir una simple ilustración. Aquí hay una imagen de mi objetivo de 35 mm :

¿Ves la marca de infinito que he resaltado en la escala de distancia de enfoque? Esto indica el enfoque correcto para fotografiar un sujeto que está infinitamente lejos. Ya sea una cordillera a unos cuantos kilómetros o un campo de estrellas a unos pocos parsecs de distancia no hace ninguna diferencia. En la medida en que el objetivo objetivo, todo lo que esté a más de 50 m puede considerarse "en el infinito".

Esto puede entenderse si se observa el ecuación de la lente un sujeto en el infinito infinito produciría una imagen en el punto focal del lado de la imagen del objetivo (en el sentido de un límite matemático). Si la distancia al sujeto es mucho mayor que la distancia focal, entonces la posición de la imagen está también, con una muy buena aproximación, en ese punto focal.

La distancia del infinito depende, obviamente, del contexto. Una mayor resolución de la película o resolución del sensor, una mejor calidad del objetivo, una lente más larga o una mayor apertura, todo ello hace que el "infinito" esté más lejos. Se podría argumentar que el distancia hiperfocal es la distancia más corta que puede considerarse en el infinito.

Answer 5

En física si una cantidad, llámese $\lambda$ en una teoría se dijo que era "casi infinita", yo lo interpretaría como que la teoría efectiva se obtiene tomando el límite $\lambda \to \infty$ es exacta hasta una escala de longitud o de tiempo muy larga, después de la cual se rompe.

Crucialmente, esta escala de longitud/tiempo de ruptura es mucho mayor que las escalas intrínsecas de la teoría efectiva (al menos en algunos regímenes útiles), por lo que hay un error de aproximación muy pequeño inducido por el uso de la $\lambda \to \infty$ teoría efectiva en sus propias escalas de tiempo intrínsecas.

Creo que muchas de las respuestas aquí han pasado por alto el punto clave que $\lambda$ sólo se acerca significativamente a $\infty$ Si las predicciones de la teoría se acercan a las de la $\lambda \to \infty$ teoría efectiva.

Ejemplos obvios son

• la velocidad de la luz $c$ en la mecánica clásica
• la constante inversa de Planck $\hbar^{-1}$ en la relatividad general
• el tiempo de Heisenberg en la física cuántica de muchos cuerpos
• la rigidez de una bola de billar al jugar al pool/snooker/billar

Más aburrido sería señalar que "casi infinito" no es más que el recíproco de "casi cero".