¿Podrían utilizarse grupos en lugar de conjuntos como base de las matemáticas?

Question

Los conjuntos son los únicos objetos fundamentales en la teoría $\sf ZFC$ . Pero podemos usar $\sf ZFC$ como base de todas las matemáticas al codificar los demás objetos que nos interesan en términos de conjuntos. La idea es que todas las afirmaciones que preocupan a los matemáticos son equivalentes a alguna pregunta sobre conjuntos. Un ejemplo de esta codificación es la definición de par ordenado de Kuratowski, $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$ que puede utilizarse para definir el producto cartesiano, las funciones, etc.

Me pregunto hasta qué punto fue arbitraria la elección de utilizar los decorados como base. Por supuesto, hay fundamentos alternativos que no utilizan conjuntos, pero por lo que sé, todos estos fundamentos siguen basándose en cosas que son bastante similares a los conjuntos (por ejemplo $\sf HoTT$ utiliza $\infty$ -groupoides, pero todavía contiene conjuntos como un caso especial de éstos).

Mi sospecha es que podríamos elegir casi cualquier tipo de estructura matemática para utilizar como base en lugar de los conjuntos y que, independientemente de lo que eligiéramos, sería posible codificar toda la matemática en términos de enunciados sobre esas estructuras. (Por supuesto, añadiré la advertencia de que tiene que haber una clase propia de cualquier estructura que elijamos, hasta el isomorfismo. Estoy pensando en cosas como grupos, espacios topológicos, álgebras de Lie, etc. Cualquier teoría sobre un mero conjunto de estructuras se demostrará consistente mediante $\sf ZFC$ y, por tanto, ser más débil que ella).

Para concretar, tomaré los grupos como ejemplo de una estructura muy diferente a los conjuntos. ¿Puede codificarse todo enunciado matemático como un enunciado sobre grupos?

Dado que aceptamos que es posible codificar todo enunciado matemático como un enunciado sobre conjuntos, bastaría con mostrar que la teoría de conjuntos puede codificarse en términos de grupos. He intentado una formalización de esto a continuación, pero también me interesaría cualquier otra aproximación a la cuestión.

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Definiremos una teoría de grupos, y luego nos preguntaremos si la teoría de conjuntos (y por tanto todo lo demás) puede interpretarse en ella. Dado que los grupos no tienen un equivalente obvio de $\sf ZFC$ trabajaremos en términos de grupos y sus homomorfismos, definiendo una teoría de la categoría de grupos análoga a $\sf{ETCS+R}$ para los conjuntos. El Teoría elemental de la categoría de conjuntos, con sustitución es una teoría de conjuntos y funciones que es a su vez biinterpretable con $\sf ZFC$ .

Definiremos nuestra teoría de grupos mediante una interpretación en $\sf{ETCS+R}$ . Utilizará el mismo lenguaje que $\sf{ETCS+R}$ pero interpretaremos que los objetos son grupos y los morfismos son homomorfismos de grupo. Digamos que los teoremas de nuestra teoría son precisamente los enunciados en este lenguaje cuyas traducciones bajo esta interpretación son demostrables en $\sf{ETCS+R}$ . Esta teoría es entonces axiomatizable recursivamente por Teorema de Craig . Naturalmente, llamaremos a esta nueva teoría ' $\sf{ETCG+R}$ '.

La teoría $\sf{ETCS+R}$ es biinterpretable con $\sf ZFC$ mostrando que cualquier matemática codificable en uno es codificable en el otro.

Pregunta: ¿Es $\sf{ETCG+R}$ biinterpretable con $\sf ZFC$ ? Si no es así, ¿es $\sf ZFC$ al menos interpretable en $\sf{ETCG+R}$ ? Si no es así, ¿son al menos equiconsistentes?

Answer 1

La respuesta es sí, de hecho se tiene mucho mejor que la bi-interpretabilidad, como muestra el corolario del final. Se deduce mezclando los comentarios de Martin Brandenburg y los míos (y algunos detalles adicionales que encontré en MO). La observación clave es la siguiente:

Teorema: La categoría de objetos co-grupos en la categoría de grupos es equivalente a la categoría de conjuntos.

(Según el nLab Esto se debe a Kan, del artículo "On monoids and their dual" Bol. Soc. Mat. Mexicana (2) 3 (1958), pp. 52-61, MR0111035 )

Los co-grupos se definen fácilmente en términos puramente categóricos (véase la Edición 2 más adelante).

La equivalencia del teorema viene dada por los grupos libres de la siguiente manera: si $X$ es un conjunto y $F_X$ es el grupo libre sobre X entonces Hom $(F_X,H)=H^X$ es un grupo, funcionalmente en H, por lo que $F_X$ tiene una estructura de objeto cogrupo. Como las funciones entre conjuntos inducen funciones de reindexación: $H^X \rightarrow H^Y$ que sí son morfismos de grupo, los morfismos entre conjuntos sí son morfismos de cogrupo.

Explícitamente, $\mu:F_X \rightarrow F_X * F_X$ es el mapa que envía cada generador $e_x$ a $e_x^L * e_x^R$ y $i$ es el mapa que envía cada generador a su inverso.

Un cálculo sencillo muestra que los generadores son los únicos elementos tales que $\mu(y)=y^L*y^R$ y por tanto que cualquier morfismo de cogrupo proviene de una función entre conjuntos. Así que los únicos morfismos de cogrupo son los que envían generadores a generadores.

Y con un poco más de trabajo, como bien se explica en esta otra respuesta de MO se puede comprobar que cualquier objeto del cogrupo tiene esta forma.

Ahora, como todo esto es un teorema de $\sf{ETCS}$ es un teorema de $\sf{ETCG}$ que todos los axiomas (y teoremas) de $\sf{ETCS}$ son satisfechas por la categoría de objetos del cogrupo en cualquier modelo de $\sf{ETCG}$ lo que le da la deseada bi-interpretabilidad entre $\sf{ETCS}$ y $\sf{ETCG}$ . Añadir axiomas suplementarios a $\sf{ETCS}$ (como R) no cambia nada.

De hecho, uno tiene algo más que la bi-interpretabilidad: las dos teorías son equivalentes en el sentido de que hay una equivalencia entre sus modelos. Pero uno tiene mucho más:

Corolario: Dado $T$ un modelo de $\sf{ETCS}$ entonces $Grp(T)$ es un modelo de $\sf{ETCG}$ . Dado $A$ un modelo de $\sf{ETCG}$ entonces $CoGrp(A)$ es un modelo de $\sf{ETCS}$ . Además, estas dos construcciones son inversas entre sí hasta la equivalencia de categorías.

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Editar: esta una respuesta a una pregunta de Matt F. en el comentario para dar un ejemplo explícito de cómo los axiomas y teoremas de $\sf{ECTS}$ traducir en $\sf{ECTG}$ .

Así que en $\sf{ECTS}$ existe un teorema (quizás un axioma) que dice que dado un monomorfismo $S \rightarrow T$ existe un objeto $R$ tal que $T \simeq S \coprod R$ .

En $\sf{ECTG}$ esto se puede traducir como: dado $T$ un objeto del cogrupo y $S \rightarrow T$ un monomorfismo de cogrupo* entonces existe un co-grupo $R$ tal que $T \simeq S * R$ como co-grupos**.

*: También es un teorema de $\sf{ECTG}$ que un mapa entre cogrupos es un monomorfismo de cogrupo si y sólo si el mapa de objetos subyacente es un monomorfismo. De hecho eso es algo que se puede demostrar para la categoría de grupos en $\sf{ECTS}$ por lo que se mantiene en $\sf{ECTG}$ por definición.

** : Podemos demostrar en $\sf{ECTG}$ (ya sea directamente porque esto se cumple en cualquier categoría, o probándolo para el grupo en $\sf{ECTS}$ ) que el coproducto de dos objetos de co-grupo tiene una estructura canónica de co-grupo que lo convierte en el coproducto en la categoría de co-grupos.

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Editar 2: Aclarar que la categoría de cogrupo se define puramente en el lenguaje categórico:

El coproducto en grupo es el producto libre $G * G$ y es definible por su propiedad universal habitual.

Un cogrupo es entonces un objeto (aquí un grupo) dotado de un mapa $\mu: G \rightarrow G * G$ que es coasociable, es decir $\mu \circ (\mu * Id_G) = \mu \circ (Id_G * \mu)$ y counital (la co-unidad tiene que ser el mapa único $G \rightarrow 1$ ), es decir $(Id_G,0) \circ \mu = Id_G$ y $(0,Id_G) \circ \mu = Id_G$ , donde $(f,g)$ denota el mapa $G * G \rightarrow G$ que es $f$ en el primer componente y $g$ en el otro componente, así como un mapa inverso $i:G \rightarrow G$ tal que $(Id_G ,i ) \circ \mu = 0 $ . Los morfismos de los co-grupos son el mapa $f:G \rightarrow H$ que son compatibles con todas estas estructuras, por lo que en su mayoría son tales que $ (f * f) \circ \mu_H = \mu_G \circ f $ .

Si tiene dudas relacionadas con la "elección" del objeto $G * G$ (que sólo se define hasta isomorfismos únicos) una forma de levantarlos es definir "un objeto de co-grupo" como un triple de objeto $G,G *G,G * G *G$ con un mapa apropiado entre ellos que satisface un montón de conficiones (incluyendo la propiedad universal) y morfismos de co-grupo como triple de mapas que satisfacen todas las condiciones esperadas. Esto da una categoría equivalente.

Answer 2

Hay algunas buenas noticias para responder afirmativamente a esta pregunta.

Teorema 1) ZFC puede interpretarse en Th(On), la teoría de primer orden de los ordinales. Véase Gaisi Takeuti, "Formalización de la teoría de los ordinales", JSL 1965. ( https://projecteuclid.org/euclid.jsl/1183735178 )  

Teorema 2) Hay abelianos $p$ -grupos de cualquier longitud ordinal infinita, donde la longitud $\ell(G)$ de un grupo $G$ es el menor ordinal $\sigma$ tal que $p^\sigma G=0$ . Véase Laszlo Fuchs, Grupos abelianos infinitos vol. 2: p. 58 para la definición y p. 85 para la construcción de estos grupos de Prufer generalizados.  

Juntando todo esto, esperaba codificar los ordinales por tales grupos, y así interpretar Th(On) en ETCG, de lo que se seguiría una interpretación de ZFC en ETCG.  

La mala noticia es que la teoría de Takeuti Th(On) es una teoría en un lenguaje grande, que comienza con $a=b$ , $a<b$ , $(a,b)$ (par ordenado), y luego pasa a incluir $+$ , $\times$ y todas las funciones recursivas primitivas de ordinales. Así que para interpretar esta Th(On) en ETCG, necesitaríamos como mínimo encontrar fórmulas $\phi_\le, \phi_{\wedge}$ en ETCG tal que:

• $\phi_\le (a,b)$ se mantiene exactamente cuando $\ell(a)\le\ell(b)$

• $\phi_\wedge (a,b,c)$ se mantiene exactamente cuando $\ell(a)=\ell(b)^{\ell(c)}$

Quizás $\phi_\le$ sería tan simple como decir que hay un mono de $a$ a $b$ . Pero encontrar $\phi_\wedge$ parece difícil.  

Incluso parece difícil encontrar una forma de caracterizar los grupos de Prufer generalizados en el lenguaje ETCG. Afortunadamente, todavía hay una buena noticia:  

Reclamación 3) Podemos caracterizar los grupos abelianos en el lenguaje de ETCG.

• $1$ es el único objeto terminal de la categoría

• un morfismo es constante si es un factor a través de $1$ .

• $G$ es casi gratis si para cada $H$ que no sea $1$ existe un mapa no constante desde $G$ a $H$ .

• $\mathbb{Z}$ es el único grupo casi libre con monos en todos los demás grupos casi libres.

• $G$ tiene dos elementos si hay exactamente dos mapas de $\mathbb{Z}$ a $G$ .

• $G$ tiene ocho elementos si hay exactamente ocho mapas de $\mathbb{Z}$ a $G$ .  

• $H$ es un subgrupo de $G$ si hay un mono de $H$ a $G$ .

• $G/H=K$ si hay un mono y un epi

$$H \hookrightarrow G \twoheadrightarrow K$$

cuya composición es constante, y tal que siempre que el cuadrado conmuta en el diagrama de abajo, hay un mapa de $\mathbb{Z}$ a $H$ haciendo que el triángulo conmute también:

$$\begin{array}{ccccc} & & \mathbb{Z} & \rightarrow & 1 \\ & \swarrow & \downarrow & & \downarrow \\ H & \hookrightarrow & G & \twoheadrightarrow & K\\ \end{array}$$ (La segunda condición es decir que el núcleo del epi está incluido en el rango del mono).

• $H$ es un subgrupo normal de $G$ si $G/H=K$ para algunos $K$ .

• $G$ es cíclico si es $\mathbb{Z}/H$ para algunos $H$ .

• $Q$ es el único grupo de 8 elementos que no es cíclico, pero que tiene un subgrupo de dos elementos $S$ cuyo mono en $Q$ factores a través de cualquier subgrupo de $Q$ que no sea $1$ .

• $G$ es abeliano si todos sus subgrupos son normales, y $Q$ no es un subgrupo de $G$ .  

Espero que podamos ir más allá en la caracterización de los grupos de Prufer generalizados mediante la caracterización de los 2 grupos abelianos infinitos reducidos no separables en ETCG. Cualquiera que encuentre eso fácil estaría en mejor lugar que yo para completar el difícil pero quizás no imposible plan anterior.