conectividad del grupo de homeomorfismos conservadores de la orientación de la esfera

Question

En el artículo "Local Contractions and a Theorem of Poincare" Sternberg ha mencionado la siguiente cuestión que estaba abierta cuando se escribió el artículo:

Es el grupo de homeomorfismos preservadores de la orientación de la $n$ -¿esfera conectada en arco?

Según el documento de Sternberg, Kneser ha demostrado que esto es cierto para $n=2$ . ¿Alguien sabe cuál es la situación actual del problema?

Answer 1

Se sabe que esto es cierto para todos los $n$ como consecuencia de la conjetura del homeomorfismo estable (SHC), a su vez estrechamente relacionada con la conjetura del anillo .

La SHC dice que cualquier homeomorfismo preservador de la orientación de $\mathbb{R}^n$ es estable es decir, un producto (finito) de homeomorfismos cada uno de los cuales es la identidad en algún conjunto abierto no vacío.

La misma afirmación es entonces cierta para un homeomorfismo $h$ de $\mathbb{S}^n$ : primero, se puede por composición con un homeomorfismo (estable) de $\mathbb{S}^n$ suponer que $h$ fija el polo norte $p$ . Entonces por SHC $h$ restringido a $\mathbb{S}^n-p\simeq\mathbb{R}^n$ es una composición de homeomorfismos que son la identidad en conjuntos abiertos no vacíos. Pero un homeomorfismo de $\mathbb{S}^n$ que es la identidad en un conjunto abierto no vacío es isotópica a la identidad, por El truco de Alejandro De ahí la conclusión.

PS : de hecho, la historia detallada es algo complicada. Lo que se sabía relativamente pronto (debido a R. D. Anderson , G. M. Fisher alrededor de 1960) fue que para cualquier colector topológico $M$ (quizá no compacto, pero sí paracompacto), el grupo $H_c(M)$ de homeomorfismos generados por aquellos soportados de forma compacta en dominios de cartas topológicas $\mathbb{R}^n\simeq U\subset M$ es el menor subgrupo normal no trivial de $H(M)$ de todos los homeomorfismos, y que es simple. En particular, $H_c(M)$ está conectada por arcos. La prueba es ingeniosa, pero no muy difícil.

Los métodos y resultados (mucho más difíciles) de la topología geométrica en dimensión $3$ (Bing, Moise,...) permitió entonces a Fisher demostrar que para una $3$ -manifold $M$ , $H_c(M)$ está abierto en $H(M)$ y por tanto coincide con la componente de identidad $H_0(M)$ . En particular $H(M)$ está localmente conectada por arcos, un hecho nada obvio -- posteriormente generalizado por Cernavskii y Edwards-Kirby que demostró la contractibilidad local (y por tanto la conectividad local por arcos) de $H(M)$ en cualquier dimensión.

Fisher también consideró el grupo de homeomorfismos estables $H_s(M)$ (sin el nombre) de una conexión $M$ (de lo contrario, la noción está vacía). Consiguió demostrar que coincide con el grupo de los que preservan la orientación $H_+(M)$ para las orientaciones cerradas $3$ -manifolds $M$ admitiendo un homeomorfismo de inversión de orientación. Para $M=\mathbb{S}^3$ Esto implica que $H_+=H_0=H_c$ cualquier homeomorfismo presevedor de orientación de $\mathbb{S}^3$ es isotópico a la identidad (nótese que para todo $n$ , $H_s(\mathbb{S}^n)=H_c(\mathbb{S}^n)$ ). Esta es la $n=3$ caso de su pregunta.

Entonces M. Brown y H. Gluck denominó homeomorfismos estables, y estudió las estructuras estables en las variedades. Un aspecto desconcertante de la noción de homeomorfismo estable es que es muy "contagiosa" : si $h\in H(M)$ coincide con un elemento $f$ de $H_s(M)$ en un conjunto abierto no vacío $U$ entonces $h$ está en $H_s(M)$ ya que $h^{-1}f$ es la identidad en $U$ . Así que esto se ve localmente en todas partes, como la preservación de la orientación (a la que finalmente se identificó).

Brown y Gluck demostraron que el SHC $_n$ (SHC en dimensión $n$ ) implica la conjetura del anillo en dimensión $n$ (AC $_n$ ), y que AC $_k$ en todas las dimensiones $k\leq n$ implica SHC $_n$ . Pero esto todavía estaba atascado en SHC $_3$ .

Después de eso vino R. Kirby (y L. Siebenmann) en 1968, quienes demostraron (utilizando los resultados de la cirugía de Wall et al), que el SHC $_n$ (por lo tanto, AC $_n$ ) es verdadera en todas las dimensiones $n> 4$ .

Pero el caso restante SHC $_4$ sólo fue resuelto por F. Quinn en 1982 (tras el trabajo de A. Casson y M. Freedman), que demostró que AC $_4$ Por lo tanto, SHC $_4$ desde el $n\leq 3$ casos eran conocidos. Véase el encuesta por Edwards.